第1.9节无穷小量的比较案例.ppt

作业 练习1.9 1、（4）（6）；2、3、4、 5、（3）-（6） * 第1.9节 无穷小量的比较 一. 无穷小量比较的概念 二. 关于等价无穷小的性质和定理 设 ?, ? 是同一个极限过程中 的两个无穷小量. 则称 ? 是 ? 的 若 记为 高阶无穷小, 此时, 也可称 ? 是 ? 的低阶无穷小. 若 为常数, 记为 则称 ? 与 ? 是同阶无穷小, 若 为常数, 则称 ? 为 ? 的 k 阶无穷小, 记为 则称 ? 是 ? 的 若 记为 等价无穷小, 等价无穷小必是同阶无穷小,但反之不真. 不存在, 但又不是无穷大, 若 则称 ? 与 ? 是不能比较的无穷小. x ? 0 时的几个无穷小量的比较： 例1 有何想法？ 例2 证 所以 1? cos x = O( x2 ) ( x ? 0 ) . 例3 ? x ? 0 时, 不可比较的无穷小. 不存在, 但不是无穷大, 与 x 是 例4 二. 关于等阶无穷小的性质和定理 1. 定理 定理 设在某一极限过程中, 证 综上所述, 限过程中的第三个变量. 2. 定理 z 是该极 设在某极限过程中, ( 或为 ? ), 则 若 定理 由定理 1, 得 , 故 lim? z = ?. 综上所述, 设 则 则 设 证 设在某极限过程中, ? ~? , ? ~? , 则 ? ~ ? . 3. 定理 传递性 定理 无穷小量可以用其等价无穷小量替代. 定理告诉我们: 在计算只含有乘、除法的极限时, 例 如果在加减法中用等价无穷小量替代, 则会产生错误: 将常用的等阶无穷小列举如下: 当 x ? 0 时 求 例5 解 求 例6 解 求 例7 解 求 例8 解 *