第1-3章基本原理案例.ppt

（1）显式格式 （1）显式格式 3）二维显示差分方程的求解 计算各结点初始时刻水头值 计算t1时刻水头值 计算边界结点水头值 重复2、3步，直到计算出拟计算的各个时刻水头值 （1）显式格式 差分方程收敛性 （2）隐式格式 （2）隐式格式 4）差分方程的收敛性和稳定性条件 5 源汇项的处理及井孔水头校正 越流、入渗和抽水井等问题的处理 如果考虑垂直渗流项（即源汇项），则二维承压流动微分方程可写成 建立差分方程时，在结点处应加上这一项，它可具体表示为： 井水位校正对比图 图3-5（a）初始网格 有限差分法计算井水位的校正 图3-5（b）加密网格 6不规则边界问题 当研究区的几何形状属于简单形式（如矩形渗流区）时，差分网格的划分往往将结点设在边界上。 然而，对于实际问题来说，边界通常不是那么规则，边界的某些部分，甚至大部分不能与结点重合，我们称这种边界是不规则的。 关于不规则边界问题，直接取最靠近边界的曲折格线为近似边界 河流、水库、湖泊等问题 7 矩形变格距网格差分 本节直接由达西定律和水均衡原理建立差分方程 达西定律： 水均衡原理： 对某一研究对象，流入-流出=体系内质量变化量 研究对象可以是大区域，也可以是微分单元体。 大区域的水均衡计算经常用于区域的水资源评价 表示当水头下降一个单位时，从单位体积饱水空隙介质中释放的水量或体积 参考教材 周志芳主编，《地下水运动数值模拟》，自编教材，2003 薛禹群，谢春红，《水文地质学的数值法》，煤炭工业出版社，1980 陈崇希，唐仲华，《地下水流动问题数值法》，中国地质大学出版社，1990 李俊亭，《地下水数值模拟》，地质出版社，1988 孙讷正，《地下水流的数学模型和数值方法》，地质出版社，1981 1 有限单元法原理 2 承压二维不稳定流动问题的迦辽金方程 3 三角形单元迦辽金有限元法 4 矩形单元迦辽金有限元法 5 任意四边形等参有限元法 6 无压流问题的有限元方法 7 多层含水层越流系统准三维流问题 第三章 迦辽金有限单元法 1 有限单元法的基本原理 有限元法的基本思想是将结构离散化，用有限个单元表示复杂对象，单元之间通过节点相互连接，然后根据变形协调条件综合求解。 有限单元法是求解偏微分方程定解问题的有效数值方法。 与差分法类似，有限元方法也是通过区域剖分和插值方法将描述地下水流动的定解问题化为代数方程组。 依据建立代数方程组的途径不同，有限单元法又分为迦辽金法和里兹法。 1 有限单元法的基本原理 迦辽金有限单元法基本思想： 从剩余加权法出发，利用剖分插值的方法，将数学模型的求解问题离散成常微分方程的求解问题，在利用差分方法把常微分方程离散成线性代数方程组的求解问题。 2 承压二维不稳定流动问题的迦辽金方程 * Here MODFLOW网格系统 导数的有限差商近似 导数的定义 当 非常小的时候，有 上式右端项即为f(x)在x0处的差商。 这样定义的差商很容易理解，但不知道用差商代替微商所产生的误差。下面利用泰勒公式导出差商及其误差。 方法一：差商代替微商 2 导数的有限差分近似表示 已知泰勒公式 ① 由A得： A B ② 由B 得： 称 为f(x)在x0处的一阶前向差商， 为截断误差。 称 为f(x)在x0处的一阶后向差商， 为截断误差。 方法一 ③由A-B可以得： ④由A+B可以得： A B 称 为f(x)在x0处的一阶中心差商， 为截断误差。 称 为f(x)在x0处的二阶中心差商， 为截断误差。 方法一 对于偏导数（偏微商），类似可以得到相应的差商： 方法一 取右图所示得微小六面体。设与x,y,z,方向对应得主渗透系数分别为Kx, Ky,Kz；建立均衡期?t时段内，微小均衡六面体的水量守恒方程。 方法二：达西定律和水均衡原理 基于达西定律，x，y，z方向流入—流出分别为: ?t时段内，侧向流入与源汇项导致六面体水量变化量为： A B C 方法二：达西定律和水均衡原理 D A+B+C+D 源汇项 六面体内地下水储存量的变化为 由水均衡原理得三维地下水流动方程的有限差分格式 方法二：达西定律和水均衡原理 有限差分法:三维（MODFLOW）