第五讲微积分的创立与时代介绍.ppt

伯努利兄弟以及欧拉、拉格朗日等在确定平面曲线曲率、拐点、渐伸线、渐屈线、测地线及曲线簇包络等方面作出许多贡献；蒙日自1771年起发表的一系列工作，则使微分几何在十八世纪的发展臻于高峰。 蒙日及其学生全面概括了空间曲线的一般理论，并借着偏微分方程对已为欧拉等人触及的可展曲面、极小曲面、曲面曲率及各种曲面簇等问题获得了系统的结果。蒙日通过其几何研究还建立了偏微分方程的特征理论。 现代解析几何的基本课题如对称的坐标轴概念、平面曲线的系统研究等，基本上也是十八世纪的产品。帕伦于1705、1713年将解析几何推广至三维情形，该项工作被克莱洛所继续。解析几何突破了笛卡儿以来作为求解几何难题的代数技巧的界限。 对综合几何的兴趣直到十八世纪末才被重新唤起，这主要归功于蒙日的《画法几何学》。蒙日指出画法几何只是投影几何的一个方面，这促进了更一般的投影几何学与几何变换理论的发展。投影几何在十九世纪整整活跃了一个世纪，而几何变换则已成为现代几何学的基本概念。 方程论及其它 1799年，高斯发表了关于代数基本定理的研究，给出了该定理的第一个严格证明；高于四次的代数方程用根式求解之不可能，也已被拉格朗日等人认识，拉格朗日在《方程的代数求解》一文中讨论了这个问题，虽未能作出严格证明，但却考察了根的有理函数及根的置换对它们的影响。高斯、拉格朗日的结果是19世纪阿贝尔、伽罗瓦、雅可比等在方程论方面的划时代成就的出发点。 虚数在十八世纪数学中的重要性增加了，达朗贝尔关于一切虚数都有形式a+bi的断言，被大多数同时代的学者所接受(虽然他的论证并不严格)；丹麦的韦塞尔提出了虚数的图像表示法，这一切为19世纪复变函数论的发展奠定了基础。 数论进展 费马小定理 费马大定理 平方数问题 费马数 “佩尔方程” 哥德巴赫猜想 帕斯卡、费马和惠更斯以来，第一个对概率论给予认真注意的是雅各布·伯努利。他的《猜度术》一书，包含了大数定律的叙述； 棣莫弗最早使用正态分布曲线； 拉格朗日的贡献在于误差理论。 概率论进一步的发展 不过，首先将概率论建立在坚固的数学基础上的是拉普拉斯。从1771年起，拉普拉斯发表了一系列重要著述，特别是1812年出版的《概率的解析理论》，对古典概率论作出了强有力的数学综合，叙述并证明了许多重要定理。拉普拉斯等人的著作还讨论了概率论对人口统计、保险事业、度量衡、天文学甚至某些法律问题的应用。 概率论在十八世纪已远不再是只与赌博问题相联系的学科了。 指向未来  19世纪的数学 人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。 * 帕斯卡的论证仅限于这一特例，他本人并未察觉其中所使用的三角形的普遍意义。 莱布尼茨却由此看到帕斯卡的方法可以推广，对任意给定的曲线都可以作这样的无限小三角形，只要用给定曲线的法线来替代圆半径，而借助于这样的无限小三角形，可以“迅速地、毫无困难地建立大量的定理”，这就是莱布尼茨从帕斯卡的工作中看到的“一束光明”。 2、分析微积分的建立 早在1666年，莱布尼茨在《组合艺术》一书中讨论过数列问题并得到许多重要结论。 3、莱布尼茨微积分的发表 1684年莱布尼茨发表了他的第一篇微分学论文《一种求极大与极小值和求切线的新方法》，刊登在《教师学报》上，这也是数学史上第一篇正式发表的微积分文献．该文是莱布尼茨对自己1673年以来微分学研究的概括，其中定义了微分并广泛采用了微分记号dx，dy。莱布尼茨假设横坐标x的微分dx是任意的量，纵坐标y的微分dy就定义为它与dx之比等于纵坐标与次切距之比的那个量。 《新方法》中明确陈述了莱布尼茨1677年已得到的函数和、差、积、商、乘幂与方根的微分公式： 1686年，莱布尼茨又发表了他的第一篇积分学论文《深奥的几何与不可分量及无限的分析》。这篇论文初步论述了积分或求积问题与微分或切线问题的互逆关系。 莱布尼茨分析道：‘‘研究不定求积或其不可能性的方法，对我来说不过是我称之为反切线方法的更广泛的问题的特殊情形(并且事实上是比较容易的情形)，而这种反切线方法包括了整个超越几何的绝大部分．” 4、莱布尼茨的其他数学贡献 符号逻辑 二进制 计算机的先驱 行列式 四、牛顿和莱布尼茨——微积分优先权之争 德丢勒(瑞士，1664-1753)1699年“牛顿是微积分的第一发明人” 1713年英