工程力学第13章(应力状态分析).pptVIP

第十三章 应力状态分析 §13-1 引言 §13-2 平面应力状态应力分 析的解析法 §13-3 平面应力状态应力分 析的图解法 §13-4 复杂应力状态的最大应力 §13-5 广义胡克定律 例：一薄壁圆筒受扭转和拉伸同时作用如图。已知圆筒的平均直径d = 50mm，壁厚t = 2mm，外力偶M = 600N·m，拉力F = 20kN。薄壁管截面的抗扭系数可近似取为WP= πd2t / 2。试用图解法求过点D 指定斜截面上的应力、点的主应力和主方向及最大切应力。 解：⑴ 求D 点在横截面上的正应力、切应力 ⑵ 作出D点的应力状态图 作应力圆，将ca 沿逆时针转240o 得d 点（或将cb 沿逆时针转60o 得d 点），该点坐标为所求截面的应力 由应力圆可得 由应力圆可得 ca 到σ1 对应点逆时针转过67.5o ca 到σ3 对应点顺时针转过112.5o 一、三向应力圆 单元体作用三个主应力 平行于主应力σ1 方向的任意斜面 I 上的正应力和切应力与σ1无关，可由应力圆 I 表示。 同理：平行于主应力σ2和σ3方向的任意斜面 II 和 III 上的正应力和切应力分别与σ2和σ3无关，可分别由应力圆 II 和 III 表示。 三向应力状态中空间任意方向面上的正应力和切应力对应于应力圆I、II、III所围阴影区域内某一点的坐标值。 二、最大应力 1.三向应力状态中最大（小）正应力 2.三向应力状态中最大切应力 最大切应力所在斜截面平行于σ2 ，其外法线与σ1 所在的平面的外法线成45o。 例：求图示应力状态的主应力及最大切应力。 解：由题可得 （主应力） 主应力 最大切应力 一点应力状态由三个正应力和三个切应力分量表示。对于各向同性材料，当变形很小且在线弹性范围内时，正应变只与正应力有关，切应变只与切应力有关。 σx 、σy 、 σz同时作用，根据叠加原理得广义胡克定律 σx 单独作用 σy 单独作用 σz 单独作用 主应变 例：一薄壁圆筒受扭转和拉伸同时作用如图。已知材料的弹性模量E = 210GPa ，泊松比μ= 0.25 ，圆筒的平均直径d = 50mm，壁厚t = 2mm，外力偶M = 600N·m，拉力F = 20kN。薄壁管截面的抗扭系数可近似取为WP= πd2t / 2。求D点图所示方向的正应变。 解：⑴ 求D 点在横截面上的正应力、切应力 ⑵ 作出D点的应力状态图 ⑶ 求 方向的正应变 由广义胡克定律得 一、应力状态的概念 1. 点的应力状态 过受力构件内一点所作各截面上的应力情况，即过受力构件内一点所有方位面上的应力总体。 2. 一点应力状态的描述 以该点为中心取无限小正六面体（单元体）为研究对象，单元体三对互相垂直的面上的应力可描述一点应力状态。 单元体三对面的应力已知，单元体平衡 单元体任意部分平衡 由截面法和平衡条件可求得任意方位面上的应力，即点在任意方位的应力。 二、应力状态的分类 1.主平面 单元体上无切应力的平面。 2.主应力 作用在主平面上的正应力。 3.应力状态的分类 任何点的应力状态总可找到三对互相垂直的主平面构成的六面体，作用三对主应力，且有： （按代数值大小排序） · 三向应力状态 三个主应力都不等于零。 · 二向应力状态 两个主应力不等于零。 · 单向应力状态 只一个主应力不等于零。 一、任意斜截面上的正应力和切应力 平面应力状态下任意斜截面上应力表达式 ⑵ 正应力：拉应力为正，压应力为负；切应力：对单元体内任意点的矩顺时针为正，反之为负。 ⑶ 斜截面角度：从x 轴正向转到斜截面外法线所转过的角度，逆时针转为正，顺时针转为负。 ⑴ σx 、τx 是法线与x 轴平行的面上的正应力与切应力，即x 面上的正应力与切应力；σy 、τy 是法线与y 轴平行的面上的正应力与切应力，即y 面上的正应力与切应力。 例：矩形截面简支梁在跨中作用集中力F。已知F =100kN，l = 2m ，b = 200mm ，h = 600mm ，α =40o，求离支座l /4 处截面C点在斜截面n-n上的应力。 解：⑴ 求C 点所在截面的剪力、弯矩 ⑵ 求C 点在横截面上的正应力、切应力 ⑶ 作出C 点的应力状态图 二、主应力及主平面位置 求与z 轴平行所有截面上的最大（小）正应力及方位 解得： 代入平面应力状态下任意斜截面上正应力表达式，得： 可确定两个相互垂直 的截面 即σmax 、σmin 作用面上τ =