工程弹塑性力学-第一章应力理论.pptVIP

关于弹塑性力学中几个重要的基本概念 特殊情况： 单向应力状态： 纯剪切应力状态： 可以证明：正八面体切应力与最大切应力关系， 1.8 应力张量的分解 应力球张量： 应力偏张量： 即： 应力球张量改变物体体积不改变形状，应力偏张量改变形状不改变体积 应力偏张量的特征方程： 其不变量： 应力偏张量的不变量： 若取应力主轴为坐标轴： 等效应力： 可以证明，应力张量的三个不变量都是基本不变量。应力偏张量的不变量以及正八面体上的应力、等效应力等都是基本不变量的函数。 比较上述两式得： * 以单元体为研究对象或模型：一般单元提取为正六面体。采用截面法根据平衡的原理。 1）每个面上应力均匀分； 2）每对相互平向的面上应力相等； ★ 研究一点应力状 态的方法： 用矩阵表示： 其中，只有6个量独立。 剪应力互等定理 应力符号的意义： 第1个下标 x 表示τ所在面的法线方向（垂直于哪一个坐标轴）； 第2个下标 y 表示τ的方向（即作用方向沿着哪一个坐标轴）. x y z O 正应力，作用于垂直于x轴的面，沿x轴方向 正面—— 截面的外法线是沿坐标轴的正方向 负面——截面的外法线是沿坐标轴的负方向 面的正负号规定 正面上的应力：沿坐标轴正向为正 沿坐标轴负向为负 负面上的应力：沿坐标轴负向为正 沿坐标轴正向为负 量纲： 关于应力和面力符号的一些说明： 应力与面力相比，在正坐标面上，正的正应力和切应力，与对应的正的法向和切向面力的方向相同，即正方向及其正号规定相同；而在负面上应力与对应的面力异号，即应力的正方向与对应面力的正方向相反。 面力以坐标正向为正，反之为负； 应力以正面正向、负面负向的为正，反之为负。 注意： 剪应力互等定理：和面的正负无关 作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的切应力是互等的（大小相等，正负号相同） 与材力中剪应力τ正负号规定的区别： 材力中规定使得单元或其局部产生顺时针方向转动趋势的剪应力τ为正，反之为负。 材料力学 弹性力学 与材力中正应力σ正负号的规定两者完全一致。 (2) 一点应变状态 —— 代表一点 P 的邻域内线段与线段间夹角的改变 x y z O P B C A 其中 应变无量纲； 注： 应变分量均为位置坐标的函数，即 1.2 平衡方程 过物体内一点M(x,y,z)作垂直于x轴的微平面，设作用其上正应力和切应力为： 与其无限接近M点的N(x+dx,y+dy,z+dz)正应力可由上式的麦克劳林展开式得到： 当M点与N点位于平行于x轴的直线上，并略去一阶以上的量，则可得： 对于六面体，若处于平衡状态，则存在六个静力平衡方程： 由 得： 体积力 惯性力 同理得： 平衡方程（纳维方程） 其张量表示方法： 平衡方程表示过任一点的三个正交微分面上的 9个应力分量需满足的条件 由微元体力矩 平衡， 得： 整理得： 当 时，有 —— 剪应力互等定理 由力矩平衡 得： 切应力互等定理 微元体任意两个相互垂直于交线的切应力大小相等，方向同时指向或同时背向交线 平衡方程独立变量减为6个 1.3 一点的应力状态 边界条件 令 并化简，并利用 有： 边界条件：外力与内应力的关系 四面体平衡问题：设斜面面积为A，其外法线的方向余弦为l, m,n, 重力作用于其重心。 由 得： 即 平衡时边界外力与内应力之间关系 即 斜面正应力： 截面方向余弦矩阵 转置矩阵 切应力： 1.4 坐标变换 应力张量 x(1) y(2) z(3) x’(1’) L1’1 L1’2 L1’3 y’(2’) L2’1 L2’2 L2’3 z’(3’) L3’1 L3’2 L3’3 如何用老坐标系下的应力分量表示新坐标系下的应力分量？ 在原坐标系内找一平面与新坐标系平面重合，现在原坐标系下计算全应力投影，再计算将其在新坐标系下投影。 为求新坐标系下以z’为外法线微面的应力分量，在原坐标系找一平面与之重合，则全应力分力的投影可得： 向新坐标轴投影 可归纳为： 张量：应力分量随坐标系变化，但实际大小不变（只是坐标系改变了分量） 切应力互等，应力张量为对称张量。 （1-6b） （1-6a） 例1-1： 某物体内一点的应力可用张量表示如下： 求法向矢量 的斜截面上的正应力和切应力 解：由于 根据式(1-4)有： 全应力投影： 切应力： 1.5 主应力