工程数学复习-概率统计.pptVIP

集合常用公式 例1: 袋中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8的八张卡片中任取一张，设事件Ａ为“抽得一张标号不大于４的卡片”，事件Ｂ为“抽得一张标号为偶数的卡片”，事件Ｃ为“抽得一张标号为奇数的卡片”。请用样本点的集合表示下列事件:Ａ∪Ｂ,ＡＢ,Ａ-Ｂ,Ｂ-Ａ,Ｂ∪Ｃ,(Ａ∪Ｂ)Ｃ 解: 将Ａ,Ｂ,Ｃ表示集合形式为Ａ＝｛１,２,３,４｝,Ｂ＝｛２,４,６,８｝,Ｃ＝｛１,３,５,７｝所以 Ａ∪Ｂ＝｛１,２,３,４,６,８｝ (Ａ∪Ｂ)Ｃ＝｛１,３｝  例2:A,B,C,D四个事件，用运算关系表示：（1）A,B,C,D至少有一个发生；（2）都不发生；（3）都发生；（4）A,B,C,D恰有一个发生；（5）至多一个发生。 解:（1）A∪B∪C∪D或（2） 或（3）ABCD或（4）（5） 古典概率 若A为试验E的一事件，试验E的样本空间为?，且A含有k个样本点．则事件A的概率就是 例2: 取球问题 一袋中共有10个球，6白，4红，采用摸后“放回”“不放回”两种方式任取出3个球，试求两种方式下这3个球中 1) 全为白球; 2) 恰含1个白2个红的概率。 将古典概率的方法引申一下，便得到确定概率的“几何方法”。 满足下列条件的试验，称为“几何概型”： (1)样本空间是直线或二维、三维空间中的度量有限的区间或区域； (2)样本点在其上是均匀分布的。 定义：在几何概型中，若样本空间Ω所对应区域的度量为L(Ω),且事件A的度量为L(A) ，则A的概率为 四. 概率的性质（1）P(?)=0, P(?)=1, 例6:设P(A)=1/3,P(B)=1/2,(1)若事件A，B互不相容，求P(B?A);(2)若A真包含于B，求P(B?A);(3)若P(AB)=1/8,求P(B?A)。 解:（1）若A,B互不相容，则 P(B?A)=P(B) =1/2; (2)若A真包含于B，则因为B?A=B-A,从而 P(B?A)=P(B-A)=P(B)-P(A)=1/2-1/3=1/6; (3)利用B?A=B-A=B-AB,得：P(B?A)=P(B-AB)=P(B)-P(AB) =1/2-1/8=3/8 . 1．定义: 设A，B是某一试验的两事件，且P(B)0，称 1.乘法公式 由条件概率定义，若P(B)0，则P(AB)=P(A|B)P(B) 若P(A)0,则P(AB)=P(B|A)P(A) 上述公式可推广到任意有限多个事件时的情形，例如，设A，B，C为事件，且P(AB)0，则 P(ABC)= P(A)P(B|A)P(C|AB)  这里，注意到由假设P(AB)0可推得P(A)≥P(AB)0. 例1.盒中5个白球，2个黑球，连续不放回地取3次球，求第三次才取得黑球的概率。 解：设Ai表示第 i 次取到黑球 设试验E的样本空间为?，A为E的事件，B1，B2，…Bn为?的一个划分，且P(Bi)0(i=1,2，…，n)则 P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+…+P(A|Bn)P(Bn) 称为全概率公式。 定理：设试验E的样本空间为?,A为E的事件，B1，B2，…，Bn为?的一个划分，且P（A）0，P（Bi）0（i=1，2，…，n），则  例4:某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据。元件制造厂次品率及提供晶体管的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志（1）在仓库中随机地取一只晶体管求它是次品的概率。（2）在仓库中随机地取一只晶体管，若已知取到的是次品，求出此次品由三家工厂生产的概率分别是多少。 § 1-4　事件的独立性 （3）若P(A)0，P(B)0，则A，B相互独立，与A，B互不相容不能同时成立。 4．概率密度f(x)与分布函数F(x)的关系： (1)若连续型随机变量X具有概率密度为f(x)，那么它的分布函数为 例1: 设随机变量X具有概率密度 1．设连续随机变量X具有概率密度 例3: 设电阻值R是一个随机变量，均匀分布在900欧—1100欧。求R的概率密度及R落在950欧—1050欧的概率。 解: 按题意，R的概率密度为 （1）定义1：设随机变量X的概率密度为 (2) 正态密度函数f(x)的几何特征  ④如果固定σ，改变μ的值，则图形沿着