工程数学概率第三章.pptVIP

第三章 第一讲 作业 第二讲 第三讲 一、协方差和相关系数的定义 第四讲 作业 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 方 差 第三章 三、方差的性质 一 、方差的定义 二、几种重要分布的方差 例如: 甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹， 哪门炮射击效果好一些呢? 甲炮射击结果 乙炮射击结果 中心 中心 其落点距目标的位置如图， 又如: 甲、乙两个合唱队都由5名成员组成，身高如下： 甲：1.60、1.62、1.59、1.60、1.59 乙：1.80、1.60、1.50、1.50、1.60 哪个合唱队演出效果好？ 一、方差的定义 方差的算术平方根 为X 的方差。记为D(X)或Var(X)。 定义 设X 是一个随机变量，若 则称 称为均方差或标准差。 存在， 记为 注： 方差实际上就是X的函数 g(X)=[X-E(X)]2 的期望。 方差反映了随机变量的取值与平均值的偏离程度。 常用计算公式： 证明： 推论： 常用计算公式： （柯西—施瓦兹不等式） 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设随机变量X 的概率密度为 求D(X )。 例1 解： 1．（0-1）分布 参数为p 0 1 二、几种常见分布的方差 2．二项分布 3．泊松分布 4．均匀分布 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ⒌ 指数分布 ⒍正态分布 注：服从正态分布的随机变量完全由它的数学 期望和方差所决定。 特别，当 机动 目录 上页 下页 返回 结束 已知 例2 求 的次数， 对X 独立观察 4 次，Y 表示X 的观察值大于 解 由题意可知 1. 设C是常数,则D(C) =0 ; 2. 若C是常数,则 D(CX )=C 2D(X ); 3. 若X与Y 独立，则 三、方差的性质 证 注： 这条性质同样不是一个充要条件。 推广 若X1,X2,…,Xn 相互独立,则 4、D(X )=0 例3、已知X ~ b(n,p)，求D(X)。 则 所以, 解： ，则 = np(1-p). 注：利用方差和的性质时要注意相互独立的条件。 例4 设 X 的可能取值为 且 ，求 X 的分布律。 解 设 X 的分布律为 所以 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解 Z 为正态随机变量的线性组合，所以仍然服从正 态分布，且其参数为 故 例5 设 X , Y 是两个相互独立的且服从正态分布的 随机变量 , 且 ，则求随机 变量 服从什么分布？ Z ~ N(-7,5) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 协方差和相关系数 第三章 一、协方差和相关系数的定义 二、协方差的性质 三、相关系数的性质 1、定义 设二维随机变量 则称它为X与Y的协方差， 即 称 为随机变量X与Y的相关系数。 若 存在， 机动 目录 上页 下页 返回 结束 记为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2、常用计算公式 证: ⑴ ⑵ 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1、 为常数 3、 2、 二、协方差的性质 证： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、相关系数的性质 1) 2) 的充要条件是X与Y以概率1成线性关系 即 其中 为常数 定理1 设随机变量X和Y 的相关系数存在，则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明： ，X 与Y 的线性关系越显著； ，X 与Y 的线性关系越不显著； 2） 3） 4） 定义、相关系数 则称 与 不相关; 相关系数 之间线性关系的一种度量. 是X与Y 下列命题等价： 1） 独立 不相关 注： 例： X ~ N(0,1), 证明X与Y不相关。 证： = 0 X与Y不相关。 但是，显然，X与Y 不是相互独立的。 不相关： X 与Y 之间没有线性关系，并不表示它们之 间没有任何关系。 独立： X 与Y 之间没有任何关系。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1 设随机变量 的概率密度为 问 X 和 Y 是否相互独立，是否不相关？ 解 ⑴ 先求关于X 和Y 的边缘概率密度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 因为 所以X 和 Y 不相互独立。 ⑵ 求X 和Y 的相关系数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 所以 故X 和 Y 不相关。 = 0. 例2 设随机变量 相互独立，且 解 例3 将一枚硬币重复掷 n 次，以