工程数学概率第一章.pptVIP

内容与学时 二、参考学习书目： 绪 言 第一节 一、随机试验 二、随机事件与样本空间 例： 特殊随机事件： 三、事件间的关系及其运算 例1. 例2. 第二节 概 率的定义及性质 一、频率 二、概率（概率的公理化定义） 例1. 已知 第三节 一、 古典概率模型 例4. 二、几何概率 三、全概率公式与贝叶斯（Bayes）公式 1、全概率公式 例4、 2、 贝叶斯公式 例5. 例6、 例7、 注： 第五节 独立性与贝努里概型 定理 性质 二、 多个事件的相互独立性 反例： 推广： 例1、 例2、 推广到n个事件，如果 则有 一批零件共100件, 其中有10 件次品, 每次从其中任取 一个零件，取后不放回。试求： 2) 如果取到一个合格品就不再取下去，求在3 次 内取到合格品的概率。 1) 若依次抽取3 次, 求第3 次才抽到合格品的概率； “第 次抽到合格品” 解: 设 例2. 1) 2) 设 “三次内取到合格品” 则 且互不相容 设一个班中30名学生采用抓阄的办法分一张电影 票,问各人获得此票的机会是否均等？ 解 设 “第 名学生抓到电影票” i=1,2,…,30 例3、 同理,第i个人要抓到此票,他前面的i-1个人都没抓到此票 思考：如果是两张电影票呢？ 定义 (1) (2) 则称 注:对每次试验， 例如 设试验 E 为“掷骰子观察其点数”。样本空间为 ， ， ， ， 而 不是划分。 定理 设随机试验E的样本空间为 A为E的事件， 则有 全概率公式 证: 两两互不相容 假设有甲、乙两袋，甲袋中有3个白球2个红球，乙 再从乙中任取一球，问取到白球的概率为多少？ 解 设 A —从乙中取到白球， B —从甲中取到白球 袋中有2个红球3个白球，今从甲中任意取一只放入乙中， = 运用全概率 公式计算P(A) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理 设随机试验E的样本空间为Ω , A为E的任意 一个事件, 为Ω的一个划分, 且 则 ，称此式为贝叶斯公式。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设某工厂甲, 乙, 丙 3 个车间生产同一种产品, 产量 依次占全厂的45％, 35％, 20％, 且各车间的合格品率为 0.96, 0.98, 0.95, 现在从待出厂的产品中检查出1个次品, 问该产品是由哪个车间生产的可能性最大？ 解 分别表示该产品是由甲、乙、丙车间生产， 设 A 表示“任取一件产品为次品” 由题意得 由贝叶斯公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 所以该产品是甲车间生产的可能性最大。 用全概率公式求 得 某炮台有3门炮，第1、2、3门炮的命中率分别为0.4， 0.3，0.5，3门炮各发射一枚炮弹，如果有两枚命中目标， 求第1门炮命中目标的概率。 解： A—两枚命中目标， B—第1门炮命中目标 A—某种临床试验呈阳性 B—被诊断者患有癌症 根据以往的临床纪录，癌症患者某项实验呈阳性 的概率为0.95，而正常人该试验成阴性的概率为0.95， 已知常人患癌症的概率为0.005，现对自然人群进行普查， 如果某人试验呈阳性，求他患癌症的概率有多大？ 解 由题，已知 样本空间划分的寻找 1、直接找题目中概率相加等于1的事件; 2、从问题分析，看影响问题的是什么事件。 引例： E — 掷两枚硬币，观察正反面的情况 A — 甲币出现H ， B — 乙币出现H ={HH，HT，TH，TT} Ω 由此看出 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一 、两个事件相互独立 定义1 设A、B是两个事件，如果有如下等式成立 则称事件A、B相互独立。 设 A、B是两个事件 ⑴ 若 ，则A、B 相互独立的充分必要条件 为 ⑵ 若A、B 相互独立, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证 相互独立, 则有 反之，由乘法公式 ⑴ 若 ，则A、B 相互独立的充分必要条件 为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 时，互不相容与相互独立 不能同时成立。 证 A、B互不相容 反之 A、B 相互独立 ，故A、B不可能互不相容。 证： 其余同理可证。 当 ⑵ 若A、B 相互独立, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4 证明 证 例5 ，求 解 A B 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6 ，求 解 从定义出发求概率是不切实际的，下节将针对 特殊类型的概率求事件的概率。 ﹏﹏﹏﹏ ﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏ Ω A B 第一章 古典概型和几何概型 一、等可能概型的定义