工程数学概率统计简明教程第7章.pptVIP

例13 设X ~ P (?), 求D ( X ). 解 方差的计算 例14 X ~ E (λ),求 D ( X ) . 解 例15 设 X ~ N ( ?, ? 2), 求 D( X ) 解 方法一 方法二 D (aX ) = a2D(X) D(aX+b ) = a2D(X) 特别地，若X ,Y 相互独立，则 方差的性质 D (C) = 0 C为常数 若 相互独立， 为常数 则 若X ,Y 相互独立 性质 1 的证明： 性质 2 的证明： 性质 3 的证明： 当 X ,Y 相互独立时， 注意到， 例16 设X ~ B( n , p)，求D(X ). 解一 仿照泊松分布求D (X )的方法. 解二 引入随机变量 相互独立， 故 例17 设 独立同分布， 证 由期望的性质 由独立性和方差的性质 常见随机变量的方差 分布 方差 概率分布 参数为p 的 0-1分布 p(1-p) B(n,p) np(1-p) P(?) ? 分布 方差 概率密度 区间(a,b)上 的均匀分布 E(?) N(?,? 2) 其中： 和 X量纲相同. 标准差概念 定义 随机变量 X 的标准差 为方差D(X)的算术根，即 例如 X ~ N ( ?, ? 2), 其标准差为 。 原点矩和中心矩的概念 —— X 的k 阶原点矩 —— X 的k 阶中心矩 —— X 的方差 标准化随机变量 设随机变量 X 的期望E(X )、方差D(X ) 都存在, 且D(X ) ? 0, 则称 为 X 的标准化随机变量. 显然， 仅知随机变量的期望与方差并不能确定其分布 P -1 0 1 0.1 0.8 0.1 P -2 0 2 0.025 0.95 0.025 与 有相同的 期望方差 但是分布 却不相同 例如 § 7.3 协方差和相关系数 问题 对于二维随机变量(X ,Y ): 已知联合分布 边缘分布 对二维随机变量,除每个随机变量各自 的概率特性外, 相互之间可能还有某种联系。 问题是用一个怎样的数去反映这种联系. 数 反映了随机变量 X , Y 之间的某种关系 称 协方差的定义 定义 为 X ,Y 的协方差. 记为 ，即 注 若 ( X ,Y ) 为离散型， 若 ( X ,Y ) 为连续型， 协方差和相关系数的计算 求 cov (X ,Y ). 1 0 p q X P 1 0 p q Y P 例18 已知 X ,Y 的联合分布为 X Y pij 1 0 1 0 p 0 0 q 0 p 1 p + q = 1 解 1 0 p q X Y P 故 * * 理解数学期望的概念，掌握它的性质与计算 第7章 随机变量的数字特征 重点： 了解二项分布、泊松分布、正态分布等的数学期望与方差 理解方差的概念，掌握它的性质与计算 分布函数能完整地描述随机变量的统计 特性, 但实际应用中并不都需要知道分布函数， 通常只需知道 随机变量的某些特征. 例如： 考察一射手的水平, 既要看他的平均环数是否高, 还要看他弹着点的范围是否小, 即数据的波动是否小. 由上面例子看到，与随机变量有关的某些数值，虽不能完整地描述随机变量但能清晰地描述随机变量在某些方面的重要特征 , 这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义. 随机变量的平均取值 —— 数学期望 随机变量取值平均偏离均值的情况 —— 方差 描述两随机变量间的某种关系的数 —— 协方差与相关系数 本 章 内 容 随机变量某一方面的概率特性 可用具体数字来描述 加 权 平 均 初 赛 复 赛 决 赛 总 成 绩 算术 平均 甲 乙 90 85 53 228 76 88 80 57 225 75 胜者 甲 甲 乙 甲 甲 3:3:4 2:3:5 2:2:6 73.7 70.0 66.8 73.2 70.1 67.8 甲 乙 乙 引例 学生甲乙参加数学竞赛, 观察其胜负 §7.1 随机变量的数学期望 为这 3 个数字的加权平均 称 数学期望的概念源于此 设 X 为离散随机变量，其分布律为 若无穷级数 其和为 X 的数学期望，简称