第1章场量复习.ppt

方向导数： 研究标量场，还需对对它的局部状态进行深入分析，即要考察标量在场中各点的邻域内沿某一方向的变化情况。为此引入方向导数的概念。 dS * 电 磁 场 场 论 复 习 1.1 标量场和矢量场 场是一个标量或一个矢量的位置函数,即场中任一个点都有一个确定的标量值或矢量. 例如,在直角坐标下, 标量场 如温度场,电位场,高度场等; 矢量场 如流速场,电场,涡流场等. 形象描绘场分布的工具--场线 矢量场--矢量线 标量场--等值线(面). 其方程为 其方程为 三维场 在直角坐标下: 二维场 图0.1.2 矢量线 图0.1.1 等值线 1.2 标量场的梯度 一. 梯度 设 当 ,即 与 方向一致时, 为最大. 设一个标量函数?(x,y,z),若函数 ? 在点P可微,则 ? 在点P沿任意方向 的方向导数为: 梯度(gradient) 哈密顿算子 式中 则有: 式中 ， ， ，分别是与x,y,z轴的夹角 证明 说明 例1 三维高度场的梯度 例2 电位场的梯度 高度场的梯度 与过该点的等高面垂直； 数值等于该点位移的最大变化率； 指向地势升高的方向。 电位场的梯度 与过该点的等位面垂直； 指向电位增加的方向。 数值等于该点的最大方向导数； 二. 梯度的物理意义 标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数; 梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值面相垂直的方向，它指向函数的增加方向. 梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即该点最大方向导数; 图0.2.2 电位场的梯度 图0.2.1 三维高度场的梯度 1.3 矢量场的通量与散度 一、通量 矢量 E 沿有向曲面S 的面积分 ? 0 (有正源) ? 0 (有负源) ? = 0 (无源) 图0.3.1 矢量场的通量 图0.3.2 矢量场的通量 若S 为闭合曲面 ，可以根据净通量的大小判断闭合面中源的性质: 说明dS x y z o h r S1 S3 S2 x y z o H S2 S1 二、散度 如果包围点P的闭合面?S所围区域?V以任意方式缩小为点P时, 通量与体积之比的极限存在，即 散度(divergence)