第1章复数与复变函数.ppt

* §1 复数及其代数运算 §3 复数的乘幂与方根 §2 复数几何表示 §4 区 域 §5 复变函数 第一章 复数与复变函数 目录 §6 复变函数的极限和连续性 第一章 复数与复变函数 §1 复数及其代数运算 1.复数的概念 复数 形如 z=x+iy 或 z=x+yi 的数，称为复数 虚部为零的复数就可看作实数，即 x+i·0=x 称实部相同而虚部为相反数的两个数x+iy和x-iy为共轭复数，简称共轭数。 共轭复数 与z=x+iy共轭的复数记为 ，即 2.复数的代数运算 复数的相等 复数的代数运算 (1)复数的加(减)法 (2)复数的乘法 (3)复数的除法 复数的运算法则 (交换律) (结合律) (分配律) 注意 一般说来，任意两个复数不能比较大小 3.复数的共轭运算 根据共轭复数的定义，不难证明共轭复数具有如下性质 利用共轭复数的概念，还可以得到两个关于复数模的重要公式： §2 复数几何表示 1.复数的点表示法 2.复数的向量表示 3.复数的极坐标表示 复数的这种表示称为复数的极坐标形式，亦称为三角形式和指数形式 关于复数的模、幅角，应当作如下的说明： (1)复数的模 复数z的模满足 (2)复数的幅角 任何一个不为0的复数z，有无穷多个幅角。 (3)幅角主值的求法 当x在第一象限 当x在第二象限 当x在第三象限 当x在第四象限 当z在正y轴上 当z在负y轴上 当z在正x轴上 当z在负x轴上 4.复球面 扩充复平面的一个几何模型就是复球面。 (1)复平面上每一条直线都通过点∞，同时，没有一个半平面包括点∞。 关于新“数”∞还需作如下几点规定： (2) ∞的实部，虚部及幅角都无意义， (3)b≠0(但可为∞)时， (4)a≠∞时， (5)运算∞± ∞，0· ∞， 无意义 §3 复数的乘幂与方根 1.复数的乘积与商 定理1.3.1 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积；两个复数乘积的幅角等于它们的幅角的和。 定理1.3.2 两个复数的商的模等于它们模的商；两个复数的商的幅角等于被除数与除数的幅角的差。 2.复数的乘方与开方 ……………………………………… §4 区 域 1.平面点集的几个基本概念 定义1.4.1　由不等式 (δ为任意的正数)所确定的平面点集(以后平面点集均简称点集)，就是以z0的δ一邻域或邻域。而称由不等式 所确定的点集为z0的去心δ一邻域或去心邻域。 定义1.4.2　设G为点集，z0为G中的一点。如果存在z0的一个邻域，该邻域内的所有点都属于G，则称z0为G的内点；若点z0的某一个邻域内的点都不属于G，则称点z0为G的外点。若在点z0的任意一个邻域内，既有属于G的点，也有不属于G的点，则称点z0为G的边界点，点集G的全部边界点称为G的边界(如图1.4.1) 注意 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的(如图1.4.2) 定义1.4.3 若点集G的点皆为内点，则称G为开集 定义1.4.4　点集G称为一个区域，如果它满足： (1)G是一个开集； (2)G是连通的，就是说G中任何两点z1和z2都可以用完全属于G的一条折线连接起来(图1.4.1) 通常称具有性质(2)的集为连通的，所以一个区域就是一个连通的开集。 定义1.4.5 区域G加上它的边界C称为闭区域或闭域，记为 定义1.4.6　如果区域G可以包含在一个以原点为中心的圆内，则称区域G是有界的，否则称区域G是无界的。 定义1.4.7 以原点为圆心，以正数R为半径的圆域外部的点的全体，称为无穷远点的邻域，它可以表示为 。不包括无穷远点自身在内，仅满足 的所有点的集合，称为无穷远点的去心邻域，它可以表示为R＜M＜+∞。 2.简单曲线 定义1.4.8　设x(t)及y(t)是实变数t的两个实函数，在闭区间[αβ]上连续，则由方程组 或由复数方程 所决定的点集C，称为z平面上的一条连续曲线。上式称为C的参数方程，z(α)及z(β)分别称为C的起点和终点。 对满足α＜t1＜β, α≤t2≤β, t1≠ t2的t1及t2,当z(t1)=z2(t)成立时，点z(t1)称为此曲线C的重点；凡无重点的连续曲线，称为简单曲线或Jordan (约当)曲线；z(α)=z(β)的简单曲线称为简单闭曲线。