第一节误差的基本.ppt

五、使用数值稳定的算法 用分部积分公式得递推公式: 近似值 In* 的递推公式: In* =1-nIn-1* 例5 In=1-nIn-1 在运算过程中,舍入误差能控制在某个范围内的算法称为数值稳定的算法,否则就称为不稳定的算法. e(In* ) = - n e( In-1* ), 用四位有效数字计算: 误差e( In* )的递推公式: 于是I7* , I8* 与精确值已经面目全非。 n 精确值 In 近似值In* n 精确值 In 近似值In* 0 1 2 3 4 0.63212? 0.36787? 0.26424? 0.20727? 0.17089? 0.6321 0.3678 0.2642 0.2074 0.1704 5 6 7 8 9 0.14553? 0.12680? 0.11238? 0.10093? 0.09161? 0.1408 0.1120 0.2180 -0.7280 7.5520 算法一 In =1-nIn-1 , 代入得下表 由于计算I0有误差 不计中间再产生的舍入误差 |e(In* )|= n! |e(I0* ) | 到 I8 时 |e(I8* )|= 8!ε = 40320ε 误差扩大了4万倍, 因而该算法是不稳定的。 e(In* ) = - n e( In-1* ) 分析： In=1-nIn-1 , 可以估计出 故 算法二 如果递推式改为 In-1 =(1-In )/n 则 In-1* =(1- In* )/n 误差 e (In-1* )= - e (In* )/n n 精确值 In 近似值In* n 精确值 In 近似值In* 9 8 7 6 5 0.09161? 0.10093? 0.11238? 0.12680? 0.14553? 0.1000 0.1000 0.1125 0.1268 0.1455 4 3 2 1 0 0.17089? 0.20272? 0.26424? 0.36787? 0.63212? 0.1709 0.2073 0.2642 0.3679 0.6321 若计算 I9 有误差 ε , 由e (In-1* )= - e (In* )/n ，其传播到 I0所引起的误差仅为 故该算法是稳定的。 由 I9* = 0.1000, In-1* =(1- In* ) /n，列表如下 人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。 * * * 数学学院 信息与计算科学系 数学学院 信息与计算科学系 第一节 误 差 定义：数值计算方法是计算数学的一个分支, 又称数值分析或计算方法, 它是研究用数字计算机求解各种数学问题的数值方法及其理论的一门学科, 是程序设计和对数值结果进行分析的依据和基础。 应用计算机解决科学技术和工程问题的步骤： (1) 提出实际问题 (2) 建立数学模型 (3) 选用数值计算方法 (4) 编程上机计算得出数据结果。 一、误差的来源 1. 模型误差: 在建立数学模型过程中, 不可能将所有因素均考虑, 必然要进行必要的简化, 这就带来了与实际问题的误差。 2.?观测误差: 测量已知参数时,数据带来的误差。 3.?截断误差: 在设计算法时,近似处理带来的误差。 函数 用泰勒多项式 近似代替时，有误差 其中 在 与 之间。这种误差就是截断误差。 例如： 4.?舍入误差: 计算机的字长是有限的, 每一步运算 均需四舍五入, 由此产出的误差。 例如：用3.14159近似代替 , 产生的误差 就是舍入误差。 二、浮点数 任何一个浮点数均可表示为 其中，r叫做这个数的基，p是阶，是一个整数，取正数,负数或零。w是尾数，由t位小数构成， 若 ，则该浮点数为规格化浮点数。 对于一个特定的机器，尾数的位数t是固定的，也称其精度有t