第一类曲线积分.ppt

1.例5中? 改为 如何计算 解 令 , 则 思考题 2. 设 C 是由极坐标系下曲线 及 所围区域的边界, 求 解 分段积分 备用题例1-1 L是以A(1,0), B(0,1), C(-1,0) 为顶点的三角形的边界. 解 x y O A B C 解 例1-2 有一半圆弧 其线密度 解 故所求引力为 求它对原点处单位质量质点的引力. 例2-1 解 例3-1 计算 其中?为球面 解 化为参数方程 则 例3-2 例3-3 其中L是： 曲线L的参数方程是： 解 L为球面 坐标面的交线 , 求其形心 . 在第一卦限与三个 解 如图所示 , 交线长度为 由对称性 , 形心坐标为 例5-1 例5-2 解 例6-1 解 柱面的准线L的参数方程是： 人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。 * 曲线积分 与曲面积分 积分学 定积分二重积分三重积分 积分域 区间域 平面域 空间域 曲线积分 曲线域 曲面域 曲面积分 曲线积分 曲面积分 第一类曲线积分 第二类曲线积分 第一类曲面积分 第二类曲面积分 第一类曲线积分 第一节 第十章 一、第一类曲线积分的概念与性质 二、第一类曲线积分的计算法 一、第一类曲线积分的概念与性质 1. 问题的提出 曲线形构件的质量 设有一位于 xOy 平面上的曲线形状的构件(如图)， 求构件的质量. 采用分割，近似，求和，取极限的方法来求曲线形构件的质量: 构件分布是非均匀的，其线密度为 1o 分割 2o 近似 3o 求和 4o 取极限 在小弧段 该弧段 的质量可近似表示为 整个构件质量的近似值 构件的质量 用曲线AB上的任意点 将AB 设函数 f (x, y) 在 xOy 面内的分段光滑曲线弧 L 2. 定义 10.1 上有界. 将 L 任意分成 n 个小弧段，设分点为 则称该极限值为函数 f (x, y)在曲线L上的第一类 被积函数 积分弧段 积分和式 弧微分 被积表达式 曲线积分或对弧长的曲线积分，记作 注 1o 当函数 f (x, y)在曲线L上连续时, 曲线积分 2o 曲线形构件的质量可以表示为 存在(充分条件). 3o 4o x y O L (x, y) 5o 6o x y O L (x, y) (x, y) 7o 1o 若积分弧段为空间曲线弧 3o 如果L 是闭曲线 , 则记为 推广 ,则函数 f ( x, y, z )在曲线弧 上对弧长的曲线积分为 2o 对空间曲线弧 ? 有与平面曲线弧类似的重心公式和转动惯量公式. 思考： 定积分 对弧长的曲线积分 但定积分中dx 可能为负. 否！ 是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? x O 要求 ds ? 0, 3. 性质 1o 线性性质： 2o 可加性： 3o 保序性： 基本思路: 计算定积分 转 化 定理10.1 且 上的连续函数, 是定义在光滑曲线弧 则曲线积分 求曲线积分 二、第一类曲线积分的计算法 1. 直接法 点 将曲线L 任意分成 n 份，设各分点对应参数为 对应参数为 证 根据定义 因此 则 注 因此积分限必须满足下限小于上限： 2o 注意到 因此上述计算公式相当于“换元法”. 1o 则 2o 如果L为极坐标形式 则 1o 如果曲线 L 的方程为 推广 3o 设空间曲线弧的参数方程为 其中 L 是抛物线 点O (0,0)与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解 上点 例1 计算 计算半径为 R ,中心角为 的圆弧 L 对于它 的对称轴的转动惯量I (设线密度? = 1). 解 建立坐标系如图, 则 例2 计算曲线积分 其中?为螺旋 的一段弧. 解 线 例3 2. 利用对称性 例4 解 x y O x y O 由轮换对称性, 知 解 例5 将圆周表示成参数方程的形式比较困难，由表达形式的对称性可利用对称性计算 点(x, y, z)的坐标满足曲线的方程 例6 解 曲面对称于 截取的柱面面积A是第一卦限 部分面积 圆柱面的准线L的参数方程： 柱面面积 1. 定义 2. 性