第4讲-差分方法2.ppt

通常写成守恒型差分，计算 … j-2 j-1 j j+1 … 在基架点上系数 不变 具体步骤： 假设已知 U， 且针对模型方程（线性单波方程） 已构造出差分格式 （1） 1） 计算出 教材130页的公式(6.1.11-6.1.13), 式中用到各变量在j+1/2的值（例如 ） 可使用j, j+1 点值的算术平均 （如 ） 或Roe平均 （教材6.4节）； 由 计算；方法很多，例如前面介绍的 或 * Copyright by Li Xinliang 均可 本人感觉会限制精度（例如2阶）；但数值实验没发现问题。 张树海 JCP 2009 对其进行了深入探讨；欢迎对该问题进行研究。 2） 在网格基上计算 … j-2 j-1 j j+1 … 计算fj+1/2用到的点 注意，在该网格基上（例如k=j-1,j,j+1） 保持不变 例如： 3) 利用已构造好的差分格式，计算通量 4） 得到总通量 5） 计算差分 （j点处） 步骤的算法描述 （注意： 实际上是两重循环） do j=1,N do k=j-1,j+1 (网格基，可以是更多或更少点) enddo enddo do j=1,N enddo 需要多次矩阵运算，计算量大 守恒性好，耗散小，数值解质量好 * Copyright by Li Xinliang 作业题3： 针对如下Sod 激波管问题 计算其数值解，画出t=0.14时刻密度、速度及压力的分布；并与精确解进行比较（要求画在一张图上）。 要求： 1） 空间网格数100， 时间推进格式选用3阶Runge-Kutta,时间步长自选。 2） 可选用逐点分裂，也可选用特征分裂。 3） 建议采用本讲作业题2（或作业题1）自行构造的差分格式计算。 （作业题2是激波捕捉格式，效果应当会好些）。 如果作业题1和作业题2遇到困难，也可采用现有的差分格式。 * Copyright by Li Xinliang * Copyright by Li Xinliang Copyright by Li Xinliang Copyright by Li Xinliang 计算流体力学讲义 第四讲 有限差分法（2） 李新亮 lixl@ ；力学所主楼219； 知识点： 离散误差的Fourier分析; 间断周围数值振荡的原因； GVC格式； 模型方程向N-S方程的推广； * 讲义、课件上传至 (流体中文网） - “流体论坛” -“ CFD基础理论 ” Copyright by Li Xinliang § 3.3 差分格式的进一步分析 1. 耗散与色散误差 * Copyright by Li Xinliang 精确解 1阶迎风 2阶迎风 数值实验 时间推进： 3步TVD型Runge-Kutta, 且时间步长足够小（误差忽略） 空间离散： 1阶及2阶迎风格式 （20个网格点） 实验观察到的现象—— 两类误差： 振幅误差 相位误差 （波速误差） Copyright by Li Xinliang * 对以上“实验现象”进行理论分析 半离散分析： 假设时间推进是精确的，仅分析空间离散带来的误差（难度小、常用） 全离散分析： 同时分析时、空离散的误差 （难度大） 考查问题： 实际上就是普通三角函数，采用复数形式仅仅是为了理论推导方便。 用实数形式 sin(kx), cos(kx)推导形式上略显繁琐。 精确解： 差分格式： （1） 其他格式 …… 假设对于： 有 隐含假设: 线性差分格式 非线性系统作用于单波，会产生多个谐波 （2） 差分没有误差 Copyright by Li Xinliang * 令： （1）式化为： “半离散化”： 空间导数差分计算，时间方程（常微）精确计算 如果