第一章波函数与Schr.ppt

(2)粒子的几率密度和几率流密度都与时间无关； 不含时间变量 不含t （3）任何不显含t 的力学量平均值与t 无关 综上所述，当Ψ满足下列三个等价条件中的任何一个时，Ψ就是定态波函数： 1. Ψ描述的状态其能量有确定的值； 2. Ψ满足定态Schr?dinger方程； 3. |Ψ|2 与t 无关。 换言之，定态就是统计分布不随时间变化的状态。 （六）多粒子体系的Schr?dinger方程 设体系由N 个粒子组成 质量分别为 mi (i = 1, 2,..., N) 体系波函数记为 ?( r1, r2, ..., rN ; t ) 第i 个粒子所受到的外势场 Ui (ri) 粒子间的相互作用势 V(r1, r2, ..., rN) 则多粒子体系的Schr?dinger方程可表示为： 体系的哈密顿算符 例如： 对有Z 个电子的原子，电子间相互作用为 Coulomb 排斥作用： 而原子核对第i 个电子的 Coulomb 吸引能为： (假定原子核位于坐标原点，无穷远为势能零点) 本节例题 例题：设一维自由粒子波函数 证明? (x)是Hamilton量（能量）本征态，本征 值 E= p2/2m。 (b) 设粒子初始(t=0)时刻，?(x,0)= ?(x)，求?(x,t)= ？ 解：(1) 一维自由粒子的哈密顿量 作用于波函数? (x): 即波函数? (x)满足能量本征值方程，因此代表了自由粒子的能量本征态，且能量本征值E=p2/2m。 (2) 由于体系初始时刻的波函数为能量本征函数?(x)，表明初态为定态，则体系将一直处于定态，即 ? (x)是动量本征态？ §4 量子态叠加原理 微观体系的状态,可以由波函数加以完全的描述,因为波函数 给定后,微观粒子的所有力学量的观测值的分布概率都确定了。 (1) 量子态 体系的量子态，可由波函数?(r,t)也可由波函数?(p,t)描述（还可以有其他的描述方式；数学上两者互为傅里叶变换），两者不过是同一量子态在不同表象(i.e.坐标表象和动量表象)下描述方式的差异。 (2) 态叠加原理 量子的态叠加原理 微观粒子具有波动性，会产生干涉和衍射图样。而干涉和衍射的本质在于波的相干叠加性，即可相加性，波相干叠加的结果产生干涉和衍射。因此，量子力学中也存在波叠加原理。因为量子力学中的波，即波函数，完全描述体系的状态，称波函数为态函数,所以量子力学的波叠加原理称为态叠加原理。 经典的波叠加原理 空间任意一点P的波强可以由前一时刻波前上所有各点传播出来的子波在P点线性迭加起来而得出。（惠更斯-菲涅耳原理） 态叠加原理的表述 若Ψ1和Ψ2 是体系的可能状态，那末它们的线性叠加Ψ= C1Ψ1+ C2Ψ2 也是该体系的一个可能状态，称线性迭加态。其中C1和C2 是复常数，这就是量子力学的态叠加原理。 先考虑最简单的情形：两个态的叠加，然后再推广到多态叠加。 考虑电子双缝衍射 P Ψ1 Ψ2 Ψ S1 S2 电子源 感光屏 电子穿过狭缝１出现在Ｐ点的概率密度 电子穿过狭缝２出现在Ｐ点的概率密度 相干项 ,正是由于相干项的出现，才产生了衍射花纹。 一个电子有Ψ1 和 Ψ2 两种可能的状态，Ψ是这两种状态的叠加。 Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 也是电子的可能状态; 空间（屏上）找到电子的概率则是： |Ψ|2 = |C1Ψ1+ C2Ψ2|2 = |C1Ψ1|2 + |C2Ψ2|2 + [C1*C2Ψ1*Ψ2 + C1C2*Ψ1Ψ2*] 推广到多态叠加： 若Ψ1 ，Ψ2 , ..., Ψn 是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加 Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 + ...+ CnΨn (其中 C1 , C2 ,...,Cn 为复常数), 也是体系的一个可能状态。--态叠加原理 态叠加原理还有下面的含义： 处于叠加态Ψ态的体系，部分地处于 Ψ1态，部分地处于Ψ2态...，部分地处于Ψn，导致迭加态下观测结果的不确定性。 例如： 当粒子处于某一定态（能量本征态）时， 测量粒子的能量结果是确定值(概率为1)，即相应的能量本征值En，测量后粒子状态不变，能量不变。 当粒子处于各个本征态的叠加态（i.e.非定态）时 测量粒子的能量没有确定值，各个能量本征值En (n=1,2,…)都有可能出现，出现概率是 当观测结果为其中某个能量本征值En时，粒子的状态立即由叠加态（非定态）褪变为相应的能量本征态（定态）?n。这一过程称为量子态坍缩（collapse）