第2章_平面问题的基本理论.ppt

§2.8 按位移求解平面问题 按位移求解（位移法）的优缺点： 求函数式解答困难，但在近似解法（变分法，差分法，有限单元法）中有着广泛的应用。 适用性广─可适用于任何边界条件。 §2.8 按位移求解平面问题 例1 考虑两端固定的一维杆件。图(a)，只受重力作用， 。试用位移法求解。 (a) (b) §2.8 按位移求解平面问题 解：为了简化，设 位移 按位移求解，位移应满足式(b),(c),(d)。 代入式(b),第一式自然满足，第二式成为 (a) (b) 均属于位移边界条件，代入 ， §2.8 按位移求解平面问题 得 得 解出 §2.8 按位移求解平面问题 在 处， 代入 ，并求出形变和应力， §2.8 按位移求解平面问题 思考题 试用位移法求解图(b)的位移和应力。 §2.9 按应力求解平面问题 相容方程 （1）取 为基本未知函数； 1.按应力求解平面应力问题 （2）其他未知函数用应力来表示: 位移用形变─应力表示，须通过积分，不仅表达式较复杂，而且包含积分带来的未知项，因此位移边界条件用应力分量来表示时既复杂又难以求解。故在按应力求解时，只考虑全部为应力边界条件的问题,即 。 形变用应力表示（物理方程）。 §2.9 按应力求解平面问题 相容方程 ⑶ 在A内求解应力的方程 (b) 从几何方程中消去位移 ， ，得相容方程（形变协调条件）： 补充方程─从几何方程，物理方程中消去位移和形变得出 : 平衡微分方程 （2个）。 (a) §2.9 按应力求解平面问题 相容方程 §2.6 边界条件 §2.6 边界条件 例2 列出边界条件： §2.6 边界条件 显然，边界条件要求在 上， 也成抛物线分布。 §2.6 边界条件 ⑴ 部分边界上为位移边界条件，另一部分边界上为应力边界条件； 混合边界条件： ⑵ 同一边界上，一个为位移边界条件，另一个为应力边界条件。 §2.6 边界条件 例3 列出 的边界条件： §2.7 圣维南原理及其应用 弹性力学问题是微分方程的边值问题。应力，形变，位移等未知函数必须满足A内的方程和S上的边界条件。主要的困难在于难以满足边界条件。 圣维南原理可用于简化小边界上的应力边界条件。 §2.7 圣维南原理及其应用 如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对同一点的主矩也相同）， 那么，近处的应力分量将有显著的改变， 但 远处所受的影响可以不计。 圣维南原理： §2.7 圣维南原理及其应用 1.圣维南原理只能应用于一小部分边界 （小边界，次要边界或局部边界）； 圣维南原理的说明： 4.远处 ─ 指“近处”之外。 3.近处 ─ 指面力变换范围的一，二倍 的局部区域； 2.静力等效─ 指两者主矢量相同，对 同一点主矩也相同； §2.7 圣维南原理及其应用 圣维南原理表明，在小边界上进行面力的静力等效变换后，只影响近处（局部区域）的应力，对绝大部分弹性体区域的应力没有明显影响。 圣维南原理推广：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。 §2.7 圣维南原理及其应用 例1 比较下列问题的应力解答： §2.7 圣维南原理及其应用 例2 比较下列问题的应力解答： §2.7 圣维南原理及其应用 圣维南原理的应用： 1.推广解答的应用； 2.简化小边界上的边界条件。 §2.7 圣维南原理及其应用 圣维南原理在小边界上的应用： ⑴ 精确的应力边界条件 如图，考虑 小边界， §2.7 圣维南原理及其应用 上式是函数方程，要求在边界上任一点，应力与面力数值相等，方向一致，往往难以满足。 (a) 在边界 上， §2.7 圣维南原理及其应用 在小边界x=l上，用下列条件代替式(a) 的条件： 在同一边界 x=l 上， 应力的主矢量 = 面力的主矢量（给定); 应力的主矩(M) = 面力的主矩（给定）. 数值相等, 方向一致. (b) ⑵圣维南原理的应用─积分的应力边界条件 §2.7 圣维南原理及其应用 右端面力的主矢量，主矩的数值及方向，均已给定； 左端应力的主矢量，主矩的数值及方向，应与面力相同，并按应力的