第一章复数与复变函数(1.3-1.4)-精简介绍.ppt

* §1.3 平面点集的一般概念 一、平面点集 二、区域 三、平面曲线 * d z0 一、平面点集 1. 邻域 设 为复平面上的一点， 定义 d z0 (1) 称点集 为 点的 邻域； (2) 称点集 为 点的 去心邻域。 P15 * 内点 一、平面点集 2. 内点、外点与边界点 (1) 内点 外点 边界点 考虑某平面点集 G 以及某一点 ， (2) 有 外点 (1) (2) 有 边界点 (1) 不一定属于 G ； 在 中， (2) 既有 又有 边界 G 的边界点的全体称为 G 的边界。 P15 * 内点 外点 边界点 边界点 (1) 不一定属于 G ； 在 中， (2) 既有 又有 边界 G 的边界点的全体称为 G 的边界。 一、平面点集 3. 孤立点 (1) (2) 有 （反之不一定） 的边界点. 的孤立点一定是 P15 * 否则称为无界集。 则 G 称为有界集， 5. 有界集与无界集 4. 开集与闭集 开集 如果 G 的每个点都是它的内点，则称 G 为开集。 一、平面点集 闭集 如果 G 的边界点全部都属于 G ，则称 G 为闭集。 定义 若存在一个以原点为中心的圆盘包含 G ， P15 P15 * 二、区域 1. 区域与闭区域 区域 平面点集 D 称为一个区域，如果它满足下列两个条件: (1) D 是一个开集； (2) D是连通的， 不连通 的一条折线连接起来。 即 D 中任何两点都可以用完全属于 D 闭区域 区域 D 与它的边界一起构成闭区域或闭域, 记作 D。 连通 注 闭区域并非区域 （只有全平面被认为既是区域又是闭区域） P16 * 区域 1 - 2 + i 闭区域 (角形)区域 例 (1) (2) (3) P16 例1.12 * 二、区域 3. 单连通域与多连通域 定义 设 D 为区域，若 D 内任一条简单闭曲线的内部仍 属于 D，则 D 称为单连通域。 多连通域又可具体分为二连域、三连域、… …。 否则称为多连通域。 P18 简单闭曲线： 没有重合点或交叉点的连续封闭曲线 * 三、平面曲线 1. 方程式 在直角平面上 在复平面上 如何相互转换？ (1) (2) 注：必要时还可借助几何特征 * i - i (1) 1 - 1 (2) 例 (1) (2) * 三、平面曲线 2. 参数式 在直角平面上 在复平面上 例如 考察以原点为圆心、以 R 为半径的圆周的方程. (2) 在复平面上 (1) 在直角平面上 (记住此结果） * 三、平面曲线 2. 参数式 在直角平面上 在复平面上 (2) 在复平面上 (1) 在直角平面上 例如 考察 和 的直线段 连接 ? í ì = = = = ) ( ) ( y y x x (记住此结果） * 三、平面曲线 3. 有向曲线 定义 带有方向的曲线，称为有向曲线，记为 C。 若指定 C 的两个可能方向中的一个作为正向， 代表与 C 的方向相反(即 C 的负方向)的曲线。 则 注：只有正向确定了， 才有意义。 * 逆时针 区域 三、平面曲线 4. 有向曲线 简单闭曲线的正向一般约定为： 区域边界曲线的正向一般约定为： 当边界上的点 P 顺此方向沿边界 前进时, 所给定的区域始终位于 P 点 的左边。 注意区域可以是多连域。 曲线 重要 * §1.4 无穷大与无穷远点 一、无穷大 二、无穷远点 * (2) (3) 法则 (1) 无意义。 无意义。 实部虚部是多少? 问题 模与辐角是多少? 在复平面上对应到哪一点？ 一、无穷大 定义 一个特殊的复数 称为无穷大， 满足 * 二、无穷远点 1. 无穷远点的概念 定义 在“复平面”上一个与复数 对应的“理想”点， 称为无穷远点。 事实上，在通常的复平面上并不存在这样的点， 因此只能说它是一个“理想”点。 那么，这个“理想”点到底在哪里呢？ 下面就来看看黎曼(Riemnann)给出的解释。 * 这样的球面称作复球面。 球面上的 N 点本身则对应到了“复平面”上的无穷远点。 其中，N 为北极，S 为南极。 对复平面上的任一点 用 球面上除 N 点外的所有点和复平面上的所有点一一对应， 直线将 点与 N 点相连，与球面相交于 点。 p 二、无穷远点 2. 复球面 如图， 某球面与复平面相切， 注 复数 不能写成 或者 * 二、无穷远点 3. 扩充复平面 (2) 不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面， 或者