第一章复数与复变函数(1.5)-精简介绍.ppt

* §1.5 复变函数 一、基本概念 二、图形表示 三、极限 四、连续 * 按照一定法则，有确定的复数 w 与它对应， 上定义一个复变函数，记作 对每个 有唯一的 w 与它对应； 单值函数 比如 多值函数 对每个 有多个 w 与它对应； 比如 则称在 D 一、基本概念 定义 设 D 是复平面上的一个点集，对于 D 中任意的一点 ， z 一般情形下，所讨论的“函数”都是指单值函数。 * 一、基本概念 一个复变函数对应于两个二元实变函数。 分析 则 可以写成 设 其中， 与 为实值二元函数。 分开上式的实部与虚部得到 * 比较两边实部与虚部即得 代入 得 解 记 P21 例1.13 例 将复变函数 化为一对实变函数。 * G G 二、图形表示 C 映射 平面 z 平面 w 其中，点集 称为像，点集 称为原像。 函数和映射可视为同一个概念。 D z x y w u v 同理可定义反函数和逆映射 * G G 二、图形表示 C 映射 平面 z 平面 w 其中，点集 称为像，点集 称为原像。 D z x y w u v 双方单值或一一映射 若映射 与它的逆映射 都是单值的， 则称映射 是双方单值的或者一一映射。 * 解 (1) 点 对应的像(点)为 (2) 区域 D 可改写为： 令 则 可得区域 D 的像(区域)G 满足 P22 例 (1) (2) 已知函数 求下列点集的像。 点 区域 * 三、极限 定义 设函数 在 的去心领域 内有定义 , 若存在复数 使得 当 时， 有 记作 或 注 (1) 函数 在 点可以无定义； (2) 趋向于 的方式是任意的。 则称 A 为函数 当 z 趋向于 z0 时的极限， P23 定义 1.1 * 性质 如果 则 三、极限 (1) (2) (3) 对于有限个函数来说： 极限运算与四则运算互换 * 定理 三、极限 设 证明 如果 则 当 时， 则 必要性 “ ” P23 定理 1.1 充分性 “ ” (略) * 三、极限 所关心的两个问题： (1) 如何证明复变函数的极限存在？ (2) 如何说明复变函数的极限不存在？ a. 选择不同的路径进行讨论 (由定义) 放大技巧 。 b. 对应的二元函数其中一个的极限不存在(由定理) 定理 设 则 P23 定理 1.1 a. 从定义出发： 对应的二元函数的极限都存在。 b. 从定理出发： * x y 讨论函数 在 的极限。 例 当 时， 当 时， 因此极限不存在。 解 方法一 P24 例1.15 * 解 当 时， 当 时， 因此极限不存在。 方法二 x y 方法三 沿着射线 与 有关，因此极限不存在。 讨论函数 在 的极限。 例 x y * 四、连续 定义 则称 在 点连续。 若 z0 若 在区域 D 内处处连续，则称 在 D 内连续。 注 (1) 连续的三个要素： 存在； 存在； 相等 (2) 连续的等价表示： 这里， P24 定义 1.2 * 例如 函数 在复平面内除原点外 是处处连续的。 因为 除原点外是处处连续的， 而 是处处连续的。 P25 定理 1.2 四、连续 函数 和 在 点连续的 充要条件是 定理 在 点连续。 * 性质 四、连续 (1) 在 连续的两个函数 与