第4章多元函数微分学及其应用案例.ppt

第四章 第一讲 例2. 讨论函数 定义1. 同样可定义对 y 的偏导数 偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . 注： 例5. 求函数 例如, 例6. 证明函数 定理 定理. 同样 内容小结 由微分定义 : 例3. 有一圆柱体受压后发生形变, 内容小结 法二 雅可比(1804 – 1851) 一、空间曲线的切线与法平面 1. 曲线方程为一般参数方程的情况 例1. 2. 曲线方程为特殊参数方程的情况 或 法平面方程 切平面方程 特别, 当光滑曲面? 的方程为显式 三、平面曲线的切线与法线 1. 曲线方程为一般参数方程的情况 2. 曲线方程为特殊参数方程的情况 内容小结 2. 曲面的切平面与法线 定理 例2. 求函数 例3. 设 思考与练习 习题课 内容总结 一、 基本概念 例1. 证明: 例2. 已知 二、多元函数微分法 例3. 设 解法2 例4.设 三、多元函数微分法的应用 例5.在第一卦限作椭球面 令 例7. 在第一卦限内作椭球面 方法2 拉格朗日乘数法（只能求可能的条件极值点）. 一元函数 可确定隐函数 的极值问题, 条件极值点必满足 设 记 故 故有 条件极值点必满足 则问题等价于 这正是 无条件极值点满足的条件 函数F 称为拉格朗日( Lagrange ) 函数，利用拉格朗日函数求极值 的方法称为拉格朗日乘数法. 注：拉格朗日乘数法把二元函数的条件极值问题转化为 三元函数的无条件极值问题 注：拉格朗日乘数法求条件极值，充分条件判别法不可用 ②求拉格朗日函数的偏导数，令其为0，解方程组 拉格朗日乘数法求函数可能条件极值点步骤 ①构造拉格朗日函数. 设 解方程组 可得到条件极值的可疑点 . 2. 求函数 下的极值. 在一个条件 设 解方程组 可得到条件极值的可疑点 . 函数 下的极值. 在两个条件 3. 二、条件最值 最值问题 无条件最值: 条 件最值: 1.z=f(x,y)在约束条件?(x,y)=0下的条件最值 对自变量只有定义域限制 对自变量除定义域限制外, 还有其它条件限制 定义: 函数 则称f(x0,y0)为函数z=f(x,y)在约束条件?(x,y)=0下的条件 最大（小）值，条件最大值和条件最小值统称为条件 最值,使函数取得条件极值的点称为条件最值点. 在包含(x0,y0)的集合D内 有定义,若当 (x,y)? D且?(x,y)=0时有 2.实际问题条件最值 最值必在定义域内取到，拉格朗日函数在定义域内部有 唯一的驻点，则驻点为最值点 例. 要设计一个容量为 则问题为求x , y , 令 解方程组 解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高, 下水箱表面积 最小. z 使在条件 水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？ 的长方体开口水箱, 试问 得唯一驻点 由题意可知合理的设计是存在的, 长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省. 因此 , 当高为 内容小结 1. 函数的条件极值问题 (1) 简单问题用代入法 (2) 一般问题用拉格朗日乘数法 第二步 判别 ? 根据问题的实际意义确定最值 第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件) 2. 函数的条件最值问题 作业：作业册P26－27 已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ), 试在椭圆 圆周上求一点 C, 使 △ABC 面积 S△最大. 解答提示: 设 C 点坐标为 (x , y), 则 设拉格朗日函数 解方程组 得驻点 对应面积 而 比较可知, 点 C 与 E 重合时, 三角形 面积最大. 点击图中任意点 动画开始或暂停 *第九节 一、二元函数泰勒公式 二、极值充分条件的证明 二元函数的泰勒公式 第四章 一、二元函数的泰勒公式 一元函数 的泰勒公式: 推广 多元函数泰勒公式 记号 (设下面涉及的偏导数连续): 一般地, 表示 表示 定理1. 的某一邻域内有直 到 n + 1 阶连续偏导数 , 为此邻域内任 一点, 则有 其中 ① ② ① 称为f 在点(x0 , y0 )的 n 阶泰勒公式, ②称为其拉格 朗日型余项 . 证: 令 则 利用多元复合函数求导法则可得: 一般地, 由 的麦克劳林公式, 得 将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式. 说明: (1) 余项估计式. 因 f 的各 n+1 阶偏导数连续, 在某闭 邻域其绝对值必有上界 M , 则有 (2) 当 n = 0 时, 得二元函数的拉格朗日中值公式: (3) 若函数 在区域D 上的两个一阶偏导数 恒为零, 由中值公式可知在该区域上 例1. 求函数 解: 的三阶泰 勒公式. 因此, 其中 时, 具有极值 二、极值充分条件的证明 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导