第4章随机变量的数字特征.ppt

解 * A 解 证明 解 解 同理可得 解 所以 因此 §3.3　矩与协方差矩阵 解 第4章习题课 数学期望 方 差 离散型 连续型 性 质 协方差与相关系数 二维随机变量的数学期望 定 义 计 算 性 质 随机变量函数的数学期望 定 义 协方差的性质 相关系数定理 随机变量的数学期望 数学期望的性质 随机变量的方差 协方差 相关系数 o X Y o o o X X X Y Y Y 0ρ1 -1ρ0 ρ =1 ρ =-1 相关情况示意图 典型例题 题型1 随机变量的数学期望和方差 解 解 题型2 随机变量函数的数学期望 解 解 题型3 随机变量的相关系数 解 解 解 D 解 §2　随机变量的方差 引例 A，B两种手表的日走时误差分别具有如下的分布律： 易知E(XA)=E(XB)=0.由数学期望无法判别两种手表的优劣.但直觉告诉我们A优于B,怎么样用数学的方法把这种直觉表达出来呢? 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 误差 -2 -1 -1 0 0 0 0 1 1 2 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 大小反映第一 只的质量好坏 大小反映十只整体的质量好坏 §2.1　方差的概念 标准差（Standard variance）: 方差的意义 方差是一个常用来体现随机变量 X 取值分散程度的量. 如果 D(X) 值大, 表示 X 取值分散程度大, E(X) 的代表性差; 而如果 D(X) 值小, 则表示X 的取值比较集中, 以 E(X) 作为随机变量的代表性好. 证明 定理 例 A，B两种手表的日走时误差分别具有如下的分布律，问哪种手表质量好些? 解 易知E(XA)=E(XB)=0.所以 由于D(XA)D(XB),因此A手表较B手表的质量好. 解 解法1 解法2 §2.2　方差的性质 证明 D §3　协方差与相关系数 §3.1　协方差 协方差的性质 证明 证明 解 B §3.2　相关系数 协方差的数值在一定程度上反映了X与Y相互间的联系,但它受X与Y本身数值大小量纲的影响. 如令（Xcm，Yg）和（Xm,Ykg)都表示同一人群的(身高，体重),只是单位不一样,这时Xcm与Yg间的相互联系和Xm与Ykg的相互联系应该是一样的，但是 Cov(Xcm,Yg)=Cov(10Xm,1000Ykg) =100000Cov(Xm, Ykg) 引进相关系数的概念克服这一缺点. m m m 解方程组得： 相关系数的性质： 证明 证明 o X Y o o o X X X Y Y Y 0ρ1 -1ρ0 ρ =1 ρ =-1 相关情况示意图 应用概率统计 第*页 返回目录 应用概率统计 第4章 随机变量的数字特征 §1　随机变量的数学期望 §2　随机变量的方差 §3　协方差与相关系数 第4章习题课 第4章 随机变量的数字特征 §1　随机变量的数学期望 引例 设某射击手在同样的条 件下,瞄准靶子相继射击90次, (命中的环数是一个随机变量). 射中次数记录如下 试问:该射手每次射击平均命中靶多少环? 命中环数 k 命中次数 频率 解 平均射中环数 设射手命中的环数为随机变量 Y . 平均射中环数 频率随机波动 随机波动 随机波动 稳定值 “平均射中环数”的稳定值 “平均射中环数”等于 射中环数的可能值与其概率之积的累加 §1.1　离散型随机变量的数学期望 不存在 所以A的射击技术较B的好. 0.3 0.5 0.2 0.6 0.1 0.3 概率 10 9 8 10 9 8 击中环数X B A 射手名称 例 有A，B两射手，他们的射击技术如表所示，试问哪一个射手本领较好？ 解 A射击平均击中环数为 B射击平均击中环数为 × × × ＋ ＋ 解 ① 分布律为： ② 平均废品数为： 例 设随机变量X具有如下的分布，求E(X). 解 虽然有 但是 因此E(X)不存在. =? =? §1.2　连续型随机变量的数学期望 离散型随机变量X的数学期望为 自然要问连续型随机变量X的数学期望是什么? 设p(x) 是连续型随机变量X的密度函数,取分点 x0x1…xn+1 则随机变量X落在△xi=(xi, xi+1)中的概率为 与X近似的随机变量Y的数学期望为 由微积分知识自然想到X的数学期望为 不存在 例 设随机变量X的概率密度函数为 试求X的数学期望. 解 例 若随机变量X的概率密度函数为 问随机变量X的数学期望E(X)是否存在. 解 所以E(X)不存在.但 §1.3　随机变量函数的数学期望 解 解法1 解法2 例 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 试求XY的数学期望. 解 §1.