第5讲群和子群.ppt

* 离散数学（二） 群和子群 群的定义 11 群的性质和结构 2 主要内容: 群的性质和结构 重点: 群同态 难点: 重点和难点: 子群及其判定定理 3 群同态 4 一、半群、独异点和群 群的定义： 设G, *是代数,若*满足: (1) G 关于* 封闭； (2) G上运算*可结合； (3) G 关于*存在么元e； (4) G中每个元素关于*存在逆元, 即对每一a∈G, 存在一个元素a-1, 使a-1 * a = a * a-1 = e。 则称代数系统G, *为群。 G , *为半群 G , *为独异点 G , *为群 (2) G上运算*可结合：对所有的a, b, c∈ G有，(a*b)*c=a*(b*c) 一、半群、独异点和群 对群 G , *， (1) 若运算*是可交换，则称该群为可交换群, 或称阿贝尔群。 (2) 若G是无限集，则称G , *为无限群 (infinite group) 若 G是有限集，则称G , *为有限群 (finite group) 有限群G的基数|G|称为群的阶数。 例1 (1) I, +,0是阿贝尔群，无限群 (2) 代数Nk, +k, 0是阿贝尔群, 这里x-1=k-x。 但代数Nk, ×k ,1不是群, 因为0元素没有逆元。 二、群的性质与结构 定理1 G , *是群, 则对于任何a、b∈G, (a) 存在唯一的元素x∈G, 使得a * x=b。 (b) 存在唯一的元素y∈G, 使得y * a=b。 证明： (a) 设么元e∈G, 存在性：取x= a-1 * b,则 a * x＝ a * (a-1 * b)=(a * a-1) * b= e * b=b 唯一性：存在x1,x2∈G, 使得a * x1=b，a * x2=b，那么 x1=e * x1=(a-1 * a) * x1= a-1 * (a * x1) =a-1 * (a * x2) = (a-1 * a) * x2=e*x2=x2 (b)同理可证。 方程解的唯一性定理 二、群的性质与结构 定理2 如果G, *是一个群, 则对于任何a、b、c∈G, (a) a*b=a*c ? b=c。 (b) b*a=c*a ? b=c。 证明： 因为群的每一元素都有逆元, a-1 * (a *b)=a-1 * (a * c) 注意到：左边= (a * a-1) * b =e * b=b 右边=a-1 * (a * c)=(a * a-1) * c=e * c=c 本定理显然成立。 定理3 么元是群中唯一等幂元素。 证明：如果x是等幂元素, 则x*x=x。x*x=x=x*e,由定理2消去律知x=e，所以么元是群中唯一等幂元素。 消去律 二、群的性质与结构 定理4 设G，?为群，那么当G ? {e}时, G无零元。 证明：因当群的阶为1(即G = {e})时，它的唯一元素是视作么元e。设|G|1 且群有零元。那么群中任何元素x ?G，都有 x ? ? = ? ? x = ? ≠ e，所以，零元?就不存在逆元，与G，?是群的假设矛盾 (具体:群中的每一个元素存在逆元)。 群中无零元 二、群的性质与结构 定理5 群G , *的运算表中的每一行或每一列都是G中所有元素的一个置换。 证明：i)证明运算表的行(或列)中无二相同的元素(反证法)。如果对应于元素a1∈G的那一行中有两个元素相同,即 a1i =a1j, 由于 a1i = a1 * ai a1j = a1 * aj 但根据定理2有ai = aj,事实上而ai ≠ aj ,矛盾。 ii) 证G中每一元素都在运算表的每一行(每一列)中一定出现。 考察对应于a的行,假设任意b∈Ｇ,必存在x∈Ｇ,使得a * x=b,因此b必出现在对应于a的行。可见: 运算表中每一行都是G中所有元素的一个置换, 并且每一行都是不同的置换。 二、群的性质与结构