第一章数值的基本(删减版).ppt

* * * * * * * * * * * * * * * 数值稳定性 误差传播问题: 设函数y=f(x1, x2, ?, xn)是一个算法或模型， 是变量xi的准确值，而 是变量xi的近似值。如果 , 且f的计算过程中没有新的误差产生，那么计算结果 具有怎样的精度？即 算法的数值稳定: 计算过程中舍入误差不会被严重放大 误差的传播 线性情形用严格估计 非线性情形用线性近似 绝对误差传播主要取决于条件数 相对传播主要取决于条件数 条件数很大 ? 病态问题 误差的四则运算 ?(a?b)=?a??b, ?r(a?b)= [a/(a?b)]?ra?[b/(a?b)]?rb(相近数相减不稳定) ?(ab) ? b?a+a?b ?r(ab) ? ?ra+?rb ?(a/b) ? (1/b)?a?(a/b2)?b (分母b ?0不稳定) ?r(a/b) ? ?ra??rb 计算误差限: 例如： 例1.5 (数值稳定性) n=0, 1, …, 20 估计 算法一: 分部积分?递推公式 In=1?nIn-1, n=1,?,20 I0=1-1/e ? I1 ? I2 ? … ?I20 误差很大(见书P8) ， ?n = ?n?n-1, ?20 =(20!) ?0 ，不稳定 算法二：递推公式 In-1=(1?In)/n, n= 20 ,?,1 I20?估计式中点 ? I19 ? … ? I1 ? I0 误差很小 ?n-1 = ? ?n /n, ?0 =?20 /(20!)，稳定 4. 数据误差和病态问题 例1.6 (病态问题)（保留4位有效数字） x1=x2=x3=1 x1=1.2203, x2= -0.3084, x3= 2.2981. 病态问题: 很小的变化数据却导致解产生了很大的变化。 区别：收敛性和数值稳定性主要源于算法，病态性主要是模型本身的原因 。 §1.3 数值算法设计的一些要点 设计算法基本原则 计算精度：收敛性、稳定性 计算速度：计算量、收敛速度、多个CPU通信 计算空间：存储量 注意事项 病态问题 速度细节(加法、乘法，函数) 计算多项式的值 存储细节(降维) 计算多项式的值 稳定性细节(相近数相减(例)，大数吃小数(例)，分母接近0 (例) ) 死循环 设置循环的上界。 实数相等比较 中间结果（要少显示和输出） 速度细节 使用秦九韶算法(Horner’s rule) 计算多项式的值 可大大减少计算量 直接计算，乘法的运算次数: n+(n-1)+…+1+0=n(n+1)/2 乘的运算次数：n次 算法过程设计可使用递推计算公式： p0=an, pk=pk-1x + an-k ( k =1,…,n) 最后得到的 p 即是多项式 p(x) 的值，算法过程只需n次乘法和n次加法，此算法称为秦九韶算法. p=an, p=px + an-k ( k =1,…,n) 存储细节 求 的小正根(取3位有效数字). 解 只有一位有效数字. 则具有3位有效数字. 若改用 由求根公式 相近数相减 大数吃小数 1234 + (0.4 + 0.4) ≈1235 取4位有效数字计算： (1234 + 0.4) + 0.4 问题：(x+y)+z 和 x+(y+z) 相等吗？ 改进方法：先加小的数　 ≈1234 分母接近于０ 问题：当 x充分大时, 计算 改进方法：分母有理化　 补充习题 改进下列式子，使得计算结果更精确： (1) (2) (3) 改进下列式子，使其减少运算次数： (1) (2) 作业 P11: ex1, ex2, ex4, ex5, ex6, ex7 参考书 Numerical Analysis(7ed.), Burden Faires, 冯烟利等译, 高等教育出版社; 数值分析（第4版），李庆扬等译,清华大学出版社 ; MATLAB宝典,陈杰,电子工业出版社; 精通MATLAB科学计算 ,王正林等,电子工业出版社; English Books 数值分析与科学计算 Numerical Analysis and Scientific Computation (英文影印版) , Jeffery J. Leader, 清华大学出版社 Numerical Methods