第3章_平面问题的有限元法案例.ppt

理论力学中质点、质点系（刚体）的虚位移原理； 材料力学中杆件的虚位移原理。 弹性力学中的虚位移（虚功）原理： 在外力作用下处于平衡状态的变形体，当给与该物体微小位移时，外力总虚功在数值上等于变形体的总虚应变能。 虚：微小的、任意的、可能的，变分的思路 实功是力在自己产生位移上所做的功，虚功是力在别的（人为的）因素产生的位移上做的功。所谓”虚“并不是虚无，而是可能、虚设的意思。 “虚”的表达：δ 虚位移（虚功）原理： 3.4 单元位移函数的选择原则 三角形常应变单元简单，精度较差，要提高精度： 1.增加单元数目和节点数目； 2.采用更高精度的单元。 FEM中的一系列工作，都是以位移模式为基础的。所以当单元趋于很小时，即△x, △y→0时，为了使FEM之解逼近于真解，即为了保证FEM收敛性,位移模式应满足下列条件：　　 1. 位移模式必须能反映单元的刚体位移。 单元位移包含两部分：本单元的形变引起的位移；其他单元的形变引起的位移，即刚体位移。在位移函数中，常数项即提供刚体位移。 2. 位移模式必须能反映单元的常量应变。 单元应变包含两部分：变量应变和常量应变。位移函数的一次项提供常量应变。 当单元→0时，单元中的位移和应变都趋近于基本量—刚体位移和常量位移。 3. 位移模式应尽可能反映位移的连续性 使相邻单元之间的位移保持连续，即受力后，相邻单元在公共边界上，即既不互相脱离，也不互相嵌入。 使相邻单元在公共节点处具有相同的位移。 使单元内部的位移保持连续。位移函数取坐标的单值连续函数。 满足条件1、2的单元，称为完备单元；满足条件3的单元，称为协调单元。 常采用“帕斯卡三角形”来选取位移模式代数多项式的形式。 按照帕斯卡三角形选择位移模式的原则： 1.多项式的阶次及项数，由单元的节点数目和自由度数目来决定。保证多项式中的待定系数同单元的自由度数目相一致，以避免在确定待定系数时增加困难。 2.当高次多项式只选取一部分项时，应遵循“对称性”原则，即取其最高次中的位置对称的相应项，以保证在各坐标轴方向上具有相同的精度。 3.应满足完备性和协调性要求。 3节点三角形单元： 6节点三角形单元： 4节点四边形单元： 3.5 整体分析 结构的整体分析是将离散后的所有单元通过节点连接成原结构，进行分析。 分析过程是将所有单元平衡方程组集成整体平衡方程，引进边界条件后求解整体节点位移向量。 整体平衡方程： F=Kδ K为整体刚度矩阵 设弹性体被划分为N个三角形单元和n个节点，则结构就有2n个自由度。 K2n×2n 整体刚度矩阵的组装： 例：求下面结构的整体刚度矩阵 解：1）结构离散，单元和节点编码 用三角形单元把该结构分成4个单元，6个节点 节点两种编码：一是节点总码；二是节点局部码，每个三角形单元的三个节点按逆时针方向的顺序各自编码为i，j,m。 单元1：节点号码1，2，3 单元2：节点号码2，5，3 单元3：节点号码5，6，3 单元4：节点号码2，4，5 2）分别写出各个单元的分块刚度矩阵： 单元1：节点号码1，2，3 单元2：节点号码2，5，3 单元3：节点号码5，6，3 单元4：节点号码2，4，5 3）组装整体刚度矩阵 利用单元分块矩阵中，各子块的节点和单元信息，直接把单元刚度的各元素送入总体刚度矩阵的相应行列上，并同总体刚度矩阵该元素的已有值相加。“对号入座” 组装一般规则： 1)当[Krs]中r=s时，该点被哪几个单元所共有，则整体刚度矩阵中的子矩阵[Krs]就是这几个单元的刚度矩阵中的子矩阵[Krs]e的相加。 2)当[Krs]中r≠s时，若rs边是组合体的内边，则整体刚度矩阵中的子矩阵[Krs]就是共用该边的两相邻单元刚度矩阵中的子矩阵[Krs]e的相加。 3)当[Krs]中r和s不同属于任何单元时，整体刚度矩阵中的子矩阵[Krs]=[0] 。 整体刚度矩阵的性质： 1）整体刚度矩阵是对称矩阵。 2）整体刚度矩阵每一个元素的物理意义： 3）整体刚度矩阵的主对角线上的元素总是正的。 4）整体刚度矩阵是一个奇异阵。只有排除刚体位移后，K才是正定的，其逆矩阵才存在。 在 F=Kδ中，令节点1在x方向的位移u1=1，而其余节点位移均为0，则： 5）整体刚度矩阵是一个稀疏阵。 离散后结构的任一节点，只和与它相连的元素发生联系，所以K存在大量的零元素，而非零元素往往分布在主对角线的附近。 带形矩阵 半带宽：在半个斜带形区域内，每行具有的元素个数，用d表示。 半带宽d=（相邻节点码的最大差值+1）×2 * * 第3章 平面问题的有限元法 3.1 结构的离散化 3.2 三角形常应变单元的位移模式和形函数 3.5 整体分析 3.6 等效节点载荷计算 3.8 有限元分析的实例 3.3 单元刚