第5章哈密顿力学案例.ppt

上式说明: 力学量 F 对时间的导数与哈密顿函数H有密切的关系 如果力学量 F 守恒的充要条件是: 更进一步, 如果力学量 F 不显含时间,并且与哈密顿函数的泊松括号为零,则该力学量就是一个运动的守恒量 注意在上式中广义坐标和广义动量是体系的独立(正则)变量,与时间 t 也是相互独立的. 哈密顿正则方程也可以写成泊松括号表示的形式: 此方程具有更明显的对称性, 而且和量子力学的运动方程形式一致. 定义任意两个力学量F和G的泊松括号: 正则变量满足: 泊松定理: 若F和G分别是正则方程的初积分(守恒量),则[F,G] 也是正则方程的初积分(可能是新的). 解: 体系为自由质点，无约束, 自由度数s＝3, 选择球坐标系(即为本题的广义坐标) 7. 应用举例 例1 在球坐标系写出一个自由质点在势场 中的哈密顿函数H 根据哈密顿函数的定义： 对自由质点, 无约束(稳定), H即可通过机械能表达： 例2 见教材例题6.10 （pp211-213） 方法一（拉格朗日方法）: 如图所示，小球和小环构成的体系，只要两个独立参量即可确定体系的位置，所以自由度数s＝2, 建立固定坐标系，选择（x, ?）为广义坐标。体系满足保守，完整和理想约束条件。 q l m M o x 坐标变换方程： 运动微分方程 最后得到关于?的运动微分方程 方法二（哈密顿方法）: 体系的拉氏函数为： 广义动量为： 反解出： 根据正则方程： 对于完整保守，理想，稳定约束体系，哈密顿函数为 这说明广义坐标 x 是循环坐标，x 方向动量守恒（初始静止）。 与拉氏方法得到的方程相同，显然对于简单力学系统，采用正则方程，如果不能直接求解，而是把它转化为广义坐标的二阶微分方程求解的话，远不如直接根据牛顿方法或拉氏方法得到该方程来得简单。 **例3 应用哈密顿正则方程求核外电子的运动规律。设电子 的电量为－e，原子核带电为Ze，Z为原子序数 采用球坐标为广义坐标, 电子受到核的库仑力作用, 是保守力, 可以用势函数表示: 同前题, 无约束(稳定), H可以表示为: ? 是循环坐标: p? = C 根据哈密顿正则方程可以得到运动方程: 以上就是根据哈密顿正则方程得到的电子在核力场中的(共六个)运动方程, 对此问题其求解并不简单, 但在更复杂的问题中可显示其优势. 可见电子的运动与 无关，故可知电子在一平面内运动, 正如所料, 因电子受有心力, 可令此平面为 的平面，则 。 由上述方程变换可得: 最终得到电子在平面内的运动方程(同以前的二维结果)为: 在上面的例子中(包括行星的开普勒运动, 带电粒子在静电库仑场中的运动等), 都可看作是自由粒子在有心力场中的运动, 容易根据角动量定理证明是平面运动, 自由度最多为 2 , 因此可以直接选择二维极坐标系就可完全描述: 势场： **§5-4 正则变换 1.正则变换 若 H =H（q1，…，qs；p1，…，ps；t）中不显含某个qi 或pi，即qi ，pi为循环坐标，对应的共轭变量pi ，qi是守恒量 循环坐标的有无与广义坐标的选取有关,正则变换的目的就是通过坐标变换发现更多的循环坐标 正则变换说明作为独立变量的“坐标”和“动量” 有着同等的地位,并且其选择具有更大的自由,因而力学表述更抽象。 正则方程还提供另外一种解决问题的方式: 通过正则变换寻找更多的哈密顿函数的循环坐标,这完全是可能的, 因为我们使用了更多的变量。 2.正则变换的条件 能够保持正则方程形式不变的相空间的坐标变换,即要求变换后的新变量仍是力学系的正则变量,这样的坐标变换方法称为正则变换 F是变换的生成函数,它一般是t以及q,p,Q,P中2s个独立变量的任意函数,因此我们有一定的自由度选择生成函数。 3.哈密顿—雅可比方程 假如能够找到使新的哈密顿函数 H′=0 的正则变换,从而简化正则方程的求解 这里cj,dj是由初始条件决定的2s个常数 这样的正则变换是存在的,它的生成(母)函数满足哈密顿—雅可比方程 4.刘维定理 定义代表 ? 保守力学体系在 2s 维相宇中代表点的密度, 则有 即保守力学体系在相宇中代表点的密度在运动过程中保持不变 第5章 哈密顿力学 §5-1 哈密顿原理 §5-2 哈密顿函数 §5-3 正则方程 §5-4 正则变换 拉格朗日表述 拉格朗日函数 完整,理想,保守系 系统特性函数 广义坐标(s个) 独立变量(运动学) 广义坐标广义速度 独立变量(动力学) 运动方程是广义坐标的二阶微分方程组 拉格朗日变量 哈密顿表述 哈密顿函数 完整,理想,保守系 系统特性函数 独立变量 广义坐标 广义动量 (共 2s 个) 推广至统计力学和量子力学 运动方程是广