第8讲：外测度案例.ppt

第8讲 外测度 目的：懂得如何从长方体的体积概念导出 外测度概念，了解外测度与体积概 念的异同。 重点与难点：外测度的定义，不可测集的 存在性。 正如引言中所说，要研究一般函数的积分，首先要建立一般集合的“长度”概念，这一工作可以追溯到19世纪人们关于容量的研究，其中具有代表性的人物是Peano（皮严诺）、Jordon（约当）以及Lebesgue的老师Borel（波雷尔）。然而，Lebesgue的工作替代了十九世纪的创造，特别是他改进了Borel的测度论。 第8讲 外测度 一．外测度的定义 问题1：回忆平面内的面积、3维空间中 长方体的体积概念，如何定义n 维空间中长方体的体积？ 问题2：有限个互不相交的长方体之并的 体积是什么？ 问题3：回忆Riemann积分的定义及其几何 意义，由此启发我们如何定义一般 集合的“面积”或“体积”？ 众所周知，在 中，开矩形 的面积为 ，在 中，开长方体 的体积为 。很自然地，我们也称 中的开集 为开长方体，并定义其体积为 如果 是一个一般的集合怎么办呢？熟 悉Riemann积分的人可能比较自然地会想 到，用一些长方体去分割它，然后以长方体 的体积之和近似代替 的体积。但值得注意 的是，由于 是一般的集合，它可能不含任 何开长方体，例如若 是有理数 集，它不可能充满任何长方体。因此，我们不能象Riemann积分那样企图采用长方体内外来挤的办法来定义一般集合的“长度”。尽管如此，Riemann积分的思想还是给了我们极大的启示，它依然是我们的出发点，只不过具体做法稍不同。 定义1 设 是 的点集， 是 中的一列开长方体， ，则 确定一个非负的数 （或 ）。记 称 为 的Lebesgue外测度。 二. 外测度的性质 问题4：回忆Riemann积分具有什么性 质，由此猜测外测度应具有什么 性质？ 应该注意到，由于没有假定 是有界集，所 以 有可能是 ，就象 的长度 是 一样。 由于在 中任意平移一个长方体并不 改变其体积，所以外测度也具有平移不变 性，此外外测度还有如下几个基本性质： 性质1 。 性质2 若 ， 则 。 性质3 。 问题5：Riemann积分具有有限可加性， 两个互不相交的集合之并的外测 度是否为这两个集合的外测度之 和？为什么？ 性质1是显而易见的。如果注意到当 时，凡是能盖住 的开长方体序列一定也能盖住 ， 则由外测度定义很容易得到 。事实上， 盖住 的开长方体序列的全体比盖住 的开长方体序列全体更多。 为证性质3，可采用如下办法，对任意 ，由外测度定义知，对每个 ，存在开长方体序列 ，满足 从而 ，且 于是 由 的任意性知 。 看起来似乎外测度概念推广了通常的体 积概念，我们所期待的问题已经解决，但 是，当我们完成了在某个原始概念基础上推 广或建立一个新的概念后，首先必须回过头 来审查一下这一概念是否具有合理性，所谓 合理性就应包括下面两个方面的问题：