第5章有限长单位脉冲响应(FIR)滤波器的实现案例.ppt

* 二.交替定理（最佳逼近定理） 令F表示闭区间 的任意闭子集，为了使 在F上唯一最佳地逼近于 ,其充分必要条件是误差函数 在 F 上至少应有（M+2）次“交替”， 即 其中 ，且 属于F。 1） 至少有 M+2个极值，且极值正负相间，具有等波纹的性质 ， 2） 由于 是常数，所以 的极值也就是 的极值。 * 借助于低通滤波器的设计，可以直观地解释这个定理。这时，闭子集F包括区间 和 。因为滤波器频响 是逐段恒定的，所以对应于误差函数 各峰值点的频率 同样也对应于 恰好满足误差容限时的频率。 根据前面的讨论， 在开区间 内至多有M-1个极值，此外，根据通带和阻带的定义，令 的约束条件为 ， ，再加上 和π处的极值，误差曲线最多有M+1个极值频率（交替）满足定理。 * 逼近方法：固定 k、M、 和 ，以 作为参变量。按照交替定理，如果 F 上的M+2个极值点频率 已知，则由（1）式可得到 M+2 个方程： 为极值点频率对应的误差函数值 * 注意：极值点频率必须位于 和 区间内。由于 和 固定，因而 和 必为这些极值频率中的一个，设 ，则应有： 求解上述方程组可得到全部系数 问题：1）实际情况下，M+2 个极值点频率未知； 2）直接求解上述非线性方程组比较困难。 雷米兹（Remez）算法给出了求解切比雪夫最佳一致逼近问题的方法。 * 图5.4.3 雷米兹交替算法 * 三.雷米兹（Remez）算法 1）在频率子集 F 上均匀等间隔地选取 M+2 个极值点频率 * 2）由 求 和 利用重心形式的拉格朗日插值公式: 其中 如在频带 F 上，对所有频率都有 ，则 为所求， 即为极值点频率。 * 3）对上次确定的极值点频率 中的每一点，在其附近检查是否在某一频率处有 ，如有，则以该频率点作为新的局部极值点。对 M+2 个极值点频率依次进行检查，得到一组新的极值点频率。重复步骤1）、2），求出 ，完成一次迭代。 重复上述步骤，直到 的值改变很小，迭代结束，这个 即为所求的 最小值。由最后一组极值点频率求出 ，反变换得到 , 完成设计。 优点： 可准确确定； 逼近误差均匀分布，相同指标下，滤波器所需阶数低。 * 有一些估算公式可用于决定最佳滤波器长度N： 对于窄带低通滤波器，δ2对滤波器长度N起主要作用： * 对于宽带低通滤波器，δ1对滤波器长度N起主要作用： * * MATLAB 程序： * 图 5.4.2 雷米兹交替法设计举例 * 5.5 IIR与FIR数字滤器的比较 ? FIR IIR 设计方法 一般无解析的设计公式，要借助计算机程序完成 利用AF的成果，可简单、有效地完成设计 ? 设计结果 可得到幅频特