点集拓扑学第二章拓扑空间与连续映射2-1,2介绍.ppt

三. 拓扑空间中的连续映射和同胚映射 定义2.7 设X和Y是两个拓扑空间，f : X→Y，以及 如果对于 的任意一个邻域 , 有: ,则称 在点 处是连续的. 如果映射f 在X的每一个点x∈X处连续，则 称f 是拓扑空间X上的一个连续映射． 定理2.6 f 是连续的 充分必要条件是Y中开集的原象是X中的开集 定理2.7　设X，Y和Z都是拓扑空间．则 (1)恒同映射： : X→X是一个连续映射； (2)如果f : X→Y和g:Y→Z都是连续映射， 则 gof : X→Z也是连续映射． (3)常值映射： : 是一个连续映射； (4)从离散空间到任何空间的映射都是连续的 (5)从X到平凡空间的任何映射都是连续的 定义2.8　设X和Y是两个拓扑空间．如果 f ：X→Y是一个一一映射，并且 f 和 ：Y→X都是连续的，则称 f 是一个同胚映射或同胚． 　定理2.8　设X，Y和Z都是拓扑空间．则 (1)恒同映射： : X→X是一个同胚映射； (3)如果f : X→Y和g:Y→Z都是同胚映射， 则 gof : X→Z也是同胚映射． (2)如果f ：X→Y是一个同胚，则 ： Y→X 也是一个同胚； 　定义2.9　设X和Y是两个拓扑空间．如果存在一个同胚f ：X→Y，则称拓扑空间X与拓扑空间Y是同胚的，或称X与Y同胚，或称X同胚于Y． 定理2.9　设X，Y和Z都是拓扑空间．则 　　（1）X与X同胚； 　　（2）如来X与Y同胚，则Y与X同胚； 　　（3）如果X与Y同胚，Y与Z同胚， 则X与Z同胚． 四. 子空间的概念 定义2.10　设(X， )是一个拓扑空间， 令 ,则 是A上的拓扑,拓扑空间 称为 的子空间. 定理2.10　设X，Y，Z都是拓扑空间．如果Y是X的一个子空间，Z是Y的一个子空间，则Z是X的一个子空间． 说明 拓扑空间 的任何子集都可以看作拓扑 空间,即子空间 定理2.11 设 是拓扑空间, (1) 若B是X中的开集,则B也是A中的开集. (2) 若A是X的开集,B是A的开集,则B也是X中的开集 拓扑空间的某种性质P，如果为某一个拓扑空间所具有，则必为与其同胚的任何一个拓扑空间所具有，则称此性质P是一个拓扑不变性质．换言之，拓扑不变性质即为同胚的拓扑空间所共有的性质． 关于拓扑性质 拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质． 人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。 * * * * Department of Mathematics Company Logo Department of Mathematics Department of Mathematics Company Logo Company Logo Company Logo Company Logo Company Logo 宁德师范高等专科学校 Company LOGO Company LOGO Department of Mathematics -哈尔滨工程大学- -理 学 院- -林 锰- 点集拓扑学 第二章 拓扑空间与连续映射 本章教学基本要求 掌握度量空间及度量空间的连续映射的概念掌握拓扑与拓扑空间的概念,并在此空间上建立起来的连续映射,同胚的概念，熟悉几个拓扑空间的例子掌握邻域与邻域系的概念及性质；掌握连续映射的两种定义；掌握证明开集与邻域的证明方法 掌握闭集和闭包等相关概念. 重点：拓扑空间,同胚映射,拓扑的建立和证明. 难点：拓扑空间,同胚映射 §2.1 度量空间与连续映射 一. 度量空间 1. 度量空间的定义 则称ρ是集合X的一个度量． 并称 为度量空间. 对于任意两点x，y∈X，实数ρ(x，y)称为从点x到点y的距离． 定义2.1. 设 为