高等数学-第七版--3-9曲率介绍.ppt

第九讲 曲率 曲 率 一、弧微分 二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径 曲 率 一、弧微分 二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径 规定： 设函数f(x)在(a,b)上具有连续导数 M0(x0，y0) 度量基点 M(x，y) 曲线上任一点 (1) 曲线的正向与x增大的方向一致 s0 s0 s为x的函数，记为：s(x) s(x)为x的单调增加函数 有向弧段的值 的方向与曲线的正向相反 的方向与曲线的正向一致 (2) 有向弧段 的值为s 弧微分 x的值： x x+Δx 对应的点： M M s(x)为x的单调增加函数 弧微分公式 曲 率 一、弧微分 二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径 曲 率 一、弧微分 二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径 描述曲线局部性质（弯曲程度） ) ) 弧段弯曲程度越大转角越大 转角相同,弧段越短弯曲程度越大 ) 背景 定义 ) y x o M M 切线转角: 曲线C在M处的曲率 的平均曲率 计算公式 (1) 直线的曲率处处为零; (2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,半径越小曲率越大. 注 C: 例1 抛物线y=ax2+bx+c上哪一点处的曲率最大? 曲 率 一、弧微分 二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径 曲 率 一、弧微分 二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径 定义 设曲线y=f(x)在点M(x,y)处的曲率为K(K≠0).在点M处的曲线的法线上,在凹的一侧取一点D,使 以D为圆心,ρ为半径作圆, 称为曲线在点M处的曲率圆. 其中: D 曲率中心 ρ 曲率半径 注 1. 曲率半径与曲率互为倒数. 2. 曲率半径越大, 曲线越平坦;曲率半径越小, 曲线越弯曲. 3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧 思考 椭圆 x=2cost，y=3sint 上哪些点处曲率最大？ 解答 要使k最大， 必有 最小， 此时k最大， 人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。 * *