第8章数值积分与数值微分1案例.ppt

Newton-Cotes 求积公式余项定理： 定理2：设等距插值节点距离为 ， 有求积公式 (1) 若n 为偶数， ，则存在 ，使 (2) 若n 为奇数， ，则存在 ，使 注：定理2说明，若n 为奇数，则插值型求积公式对于不超过 n 次的多项式准确成立，可以证明其代数精度为n ；若n 为偶 数，则公式的代数精确度为n +1. Newton-Cotes 求积公式的稳定性： 假设计算 f (xk )时有误差 , 即 此计算过程是稳定的. 记 , 则计算过程中的计算误差, 即以 代替 从而使Newton-Cotes 公式产生的误差为: 若Cotes 系数均为正数, 则有 注: 若 有正有负, 则不能保证其稳定性, 因此实际计算中很少使用n 较大的Newton-Cotes 求积公式. 注：由于高阶插值公式的数值不稳定性，从而使得高阶数值 求积公式也存在不稳定问题。故当积分区间较大时，通常不 用高阶求积公式，而是将区间分为若干段，在每一小段上利 用较低阶的求积公式（如梯形公式、Simpson公式），称为 复化求积公式。 第八章 数值积分与数值微分 山东大学数学学院 内容提纲 数值积分的必要性 求积公式及其代数精度 插值型求积公式 Newton-Cotes公式及数值稳定性 复化求积公式及误差估计 数值微分  引言 数值积分的必要性 本章主要讨论如下形式的一元函数积分 在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分 被积函数 f (x)要求： ? 有解析表达式； ? f (x)的原函数F(x)为初等函数． 实际问题 1 f (x)的原函数F (x)不能用初等函数表示 例如函数: 考虑一个实际问题: 建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器将一块平整的铝板压制而成的. 假若要求波纹瓦长4英尺,每个波纹的 高度(从中心线)为1英寸,且每个波纹以近 似2π英寸为一个周期. 求制做一块波纹 瓦所需铝板的长度L. 这个问题就是要求由函数f(x)=sinx 给定 的曲线,从 x =0 到 x =48英寸间的弧长L. 由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为: 上述积分称为第二类椭圆积分,它不能用普通方法来计算. 2. 有些被积函数其原函数虽然可以用初等函数表示成有限形式,但表达式相当复杂,计算极不方便.例如函数 并不复杂,但它的原函数却十分复杂: 3. f (x)没有解析表达式，只有数表形式: x 1 2 3 4 5 f (x) 4 4.5 6 8 8.5 这些都说明,通过原函数来计算积分有它的局限性,因而,研究关于积分的数值方法具有很重要的实际意义. 求积公式及其代数精度 求积公式的概念 积分值　　　　　　　　　 在几何上可解释为由x=a , x=b , y=0 和 y = f (x) 所围成的曲边梯形的面积。积分计算之所以有困难，就是因为这个曲边梯形有一条边 y = f (x)是曲的。 依据积分中值定理，对于连续函数 f (x) ,在[a , b]内存在一点ξ, 使得 称 f (ξ)为区间[a , b]的平均高度。问题在于点ξ的具体位置一般是不知道的。这样, 只要对平均高度 f (ξ)提供一种算法, 相应地便获得一种数值求积方法. 如果简单地选取区间[a , b]的一个端点或区间中点的高度作为平均高度，这样建立的求积公式分别是: 左矩形公式: I ( f )≈(b - a) f (a) 右矩形公式: I ( f )≈(b - a) f (b) 中矩形公式: I ( f )≈(b - a) f [(a+b)/2] 一 梯形公式 取积分区间的两个端点 a , b 作为插值节点，则相应的Lagrange插值公式及其余项分别为： 将 代入定积分，则有： 其中 称为梯形公式。 余项为： 由于 在[a , b]上不变号，由积分中值定理，得： 其中 ，上式称为梯形公式的余项。 由此可以看出，梯形公式就是利用 a , b 两点高度的加权平均值 [ f (a)+ f (b)]/2