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有限元基础第六章 结构动力问题的有限元法 刘艳芳 Email: liuyf@buaa.edu.cn Add: 工程训练中心西配楼406 Tel: 8233 8121 第六章 结构动力问题的有限元法 章节内容 介绍如何应用有限元法求解结构的动力问题? 动力学基本方程、质量矩阵、阻尼矩阵; 结构的自由振动和结构的动力响应问题; 动力学问题的解法。 章节目录 6.1 概述 6.2 结构动力方程 6.3 结构的自由振动 6.1 概述 静力分析 假设载荷和结构的响应随时间的变化非常缓慢。 结构的响应:位移、应变、应力和力,与时间无关。 静力分析用于计算固定不变的载荷对结构或部件的影响。 动力分析 考虑载荷和结构的响应随时间的变化而变化。 结构的响应:位移、应变、应力和力是时间的函数;除此之外,还有速度、加速度。 动力分析用于求解随时间变化的载荷对结构或部件的影响。 6.1 概述 工程意义 结构振动是研究机械设备运动和力学问题的重要基础。 振动问题引起的机械故障率高达60%~70%,特别是运动机械。 机械系统向高参数化发展,振动和噪声问题日益突出。 事故典型: 1940年,美国的Tacoma Narrows吊桥在中速风载下,桥身发生严重的扭转振动和垂直振动而导致崩塌。 1972年,日本海南电厂的一台66万KW汽轮发电机组,在试车中因为发生异常振动而全机毁坏,长达51m的主轴断裂飞射,联轴节及汽轮机叶片竟然穿透厂房飞落到百米之外。 振动分析和振动设计成为产品设计中的一个关键环节。 6.1 概述 动力问题的类型 瞬态分析:用于分析结构在随时间变化的载荷作用下的动力响应 模态分析:用于分析结构的固有频率和模态(振型) 谐响应分析:用于分析结构在随时间正弦变化的载荷作用下的响应 响应谱分析:用于求解结构在冲击载荷下的响应 随机振动分析:用于分析结构对随机激励的响应 显式动力分析:用于计算高度非线性动力学和复杂的接触问题 6.2 结构动力方程 单自由度振动系统 设物体的质量为m,阻尼系数为c,弹簧刚度为k,受到随时间变化的激振力F(t)作用。 则其动力方程为: 6.2 结构动力方程 举例:单质量弹簧阻尼振动器 6.2 结构动力方程 举例:单质量弹簧阻尼振动器 解析解: 6.2 结构动力方程 有限元动力分析基本步骤 单元离散(网格划分) 单元特性分析 单元位移模式 单元节点载荷 单元动力平衡方程 整体分析 6.2 结构动力方程 单元位移模式 假定位移模式为: 单元形函数矩阵[N]仅是点的坐标的函数,与时间无关; 单元节点位移{δ}e既是点的坐标的函数,又是时间的函数; 单元内任一点的位移{f}既是点的坐标的函数,又是时间的函数。 单元的速度: 单元的加速度: 6.2 结构动力方程 单元节点载荷 载荷:来自于外界的激振力、惯性力和阻尼力 激振力:无论是集中载荷还是分布载荷,都按照静力分析的虚功等效原则移置到单元的节点上。 单位体积的惯性力: ρ为材料的密度 单位体积的阻尼力: μ为材料的阻尼系数 单元质量矩阵和单元阻尼矩阵都是对称矩阵。 6.2 结构动力方程 单元平衡方程 或者写成: 6.2 结构动力方程 整体平衡方程 整体质量矩阵、整体阻尼矩阵和整体刚度矩阵都是对称矩阵。 6.2 结构动力方程 动力方程的简化 与静力分析相比,结构有限元动力分析的计算量非常大。 简化途径: 单元质量矩阵(一致质量矩阵) 举例: 平面3节点三角形单元 杆单元 梁单元 组装后的整体质量矩阵为带状对称矩阵(稀疏矩阵) 6.2 结构动力方程 动力方程的简化 与静力分析相比,结构有限元动力分析的计算量非常大。 简化途径: 单元质量矩阵(一致质量矩阵) 简化办法:假设单元的质量集中在各节点上。 因此, 某一节点的加速度不引起其它节点的惯性力。 形成的单元质量矩阵为对角矩阵,组装后的整体质量矩阵也是对角矩阵。 简化后的质量矩阵称为 集中质量矩阵。 6.2 结构动力方程 动力方程的简化 与静力分析相比,结构有限元动力分析的计算量非常大。 简化途径: 阻尼矩阵 当密度ρ和阻尼系数μ都为常数时,单元阻尼矩阵和单元质量矩阵是成比例关系的。 6.2 结构动力方程 动力方程的简化 与静力分析相比,结构有限元动力分析的计算量非常大。 简化途径: 阻尼矩阵 简化办法 (1) 用单元质量矩阵[m]和单元刚度矩阵[k]的线性组合来表示单元阻尼矩阵。 6.2 结构动力方程 动力方程的简化 与静力分析相比,结构有限元动力分析的计算量非
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