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第6章 一些特殊的图;;;定义6.1 若一个图G的结点集V能划分为两个子集V1和V2,使得G的每一条边{vi,vj}满足vi∈V1, vj∈V2 , 则称G是一个二部图, V1和V2称为G的互补结点子集。此时可将G记成 G = V1,V2, E
若V1中任一结点与V2中每一结点均有边相连接, 则称二部图为完全二部图。若|V1|=n, |V2 |=m
则记完全二部图G为Kn, m。;;;;;;;;定义6.3
设 G = V1, V2, E 为二部图, M为G中一个最大匹配, 若 |M| = min{ |V1|, |V2| }, 则称M为G中的一个完备匹配, 此时若|V1|≤ |V2|, 则称M为V1到 V2的一个完备匹配。如果|V1|= |V2| ,这时M为G中的完美匹配。;例6.2 我们班级成立了 3 个运动队:篮球队、排球队和足球队。今有张、王、李、赵、陈5位同学,若已知张、王为篮球队员;张、李、赵为排球队员;李、赵、陈为足球队员,问能否从这5人中选出3名不兼职的队长?;例6.3 今有3人甲、乙、丙和3项工作a,b,c,已知甲能胜任3项工作a,b,c,乙能胜任2项工作a,b,丙能胜任2项工作b,c。能否给出2种不同的方案,使每个人各去完成一项他能胜任的工作?;几个问题
1 “一笔画”问题
2 “街道清扫车”
设某封闭式小区的路网结构如图所示,请证明能否设计出一条路线使得清洁车从小区大门出发清扫每条道路恰好一次,且在清扫完最后一条道路后正好返回小区大门处。
3 七桥问题;;定义6.4
通过图(无向图或有向图)中所有边一次且仅一次行遍所有顶点的通路称为欧拉通路。
通过图中所有边一次且仅一次行遍所有顶点的回路称为欧拉回路。
具有欧拉回路的图称为欧拉图。
具有欧拉通路而无欧拉回路的图称为半欧拉图。;;推论
无向图G是欧拉图 ? G是连通图,且G中没有奇度顶点。
无向图G是半欧拉图 ? G是连通图,且G中恰有两个奇度顶点。;;v4? ?v5 E? ? G
4?
A
v2? ? v3 B? ? C
?v1 ? D
(a) (b)
图6-1
;定理 6.5
有向图D具有欧拉通路 ? D 是连通的,且除了两个顶点外,其余顶点的入度均等于出度。在这两个特殊的顶点中,一个顶点的入度比出度大1,另一个顶点的入度比出度小1。
推论
一个有向图D是欧拉图 ? D是连通的,且所有顶点的入度等于出度。
特别提醒:欧拉回路要求边不能重复,结点可以重复. 笔不离开纸,不重复地走完所有的边,回到原处. 就是所谓的一笔画. ;v0;1;v1;几个问题
在一个大城市,有很多取款机,那么,如何制定出一个最优的路线,使运钞车过每个提款机一次就能运送完钱钞?
?货郎担问题
?旅行商人问题
(Traveling Salesman Problem ,TSP)
优化算法——近似解?演化算法;几个问题
1. 在一个大城市,有很多取款机,那么,如何制定出一个最优的路线,使运钞车过每个提款机一次就能运送完钱钞?
?货郎担问题?旅行商人问题(TSP)
2. 考虑在七天内安排七门课程的考试,要求同一位教师所任教的两门课程考试不安排在接连的两天里,如果教师所担任的课程都不多于四门,则是否存在满足上述要求的考试安排方案?
?时间表问题
3. 国际象棋的跳马是否可以遍历其棋盘,即从任一格出发跳到每一格仅一次并最后回到出发的棋盘格子?
4. 在一个至少有5人出席的圆桌会议上(会议需要举行多次),为达到充分交流的目的,会议主持者希望每次会议每人两侧的人均与前次不同,这是否可行?请应用图论知识进行论证。
5. 周游世界问题;哈密尔顿图;定义 6.5
经过图(有向图或无向图)中所有顶点一次且仅一次的通路称为哈密顿通路。
经过图中所有顶点一次且仅一次的回路称为哈密顿回路。
具有哈密顿回路的图称为哈密顿图.
具有哈密顿通路但不具有哈密顿回路的图称为半哈密顿图.
注:平凡图是哈密顿图。;;例 6.11:判断各图是否是哈密顿图。;例 6.12画出具有下列条件的有5个结点的无向图
(1)?? 不是哈密顿图,也不是欧拉图;
(2) 有哈密顿回路,没有欧拉回路;
(3) 没有哈密顿回路,有欧拉回路;
(4) 是哈密顿图,也是欧拉图.
解 作图如图(4)(不唯一)
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