第七章弯曲变形案例.ppt

跨长为l 的简支梁受集度为q的满布均布荷载时，最大弯矩和最大挠度均出现在跨中，它们分别为 (2) 调整跨长和改变结构的体系 如果将两个铰支座各内移一个距离a而成为如图a所示的外伸梁，且a=0.207l，则不仅最大弯矩减小为 而且跨中挠度减小为 (a) 而此时外伸端D和E的挠度也仅为 所谓改变结构的体系来提高梁的刚度在这里是指增加梁的支座约束使静定梁成为超静定梁，例如在悬臂梁的自由端增加一个铰支座，又例如在简支梁的跨中增加一个铰支座。 7-6 简单静不定梁 一、基本概念 超静定梁：梁的约束力数大于有效平衡方程数。 多余约束：多余维持平衡所必须的约束。 超静定次数：等于多余约束或多余约束力的数目。 二、求解方法 1.解除多余约束，选取静定基，建立相当系统。 2.比较变形，列变形协调条件。 3.由物理关系建立补充方程。 4.利用静力平衡条件求其它约束力。 静定基：将超静定结构变成静定结构时的相当系统。 解 求梁的约束力，梁的抗弯刚度为EI。 1）判定超静定次数，选取静定基 在梁的A和B处各有3个和1个约束力，独立平衡方程数等于3，所以是一次超静定问题。选取静定基如图(b)所示。在去掉约束处用一未知力 代替，如图(c)所示。 2）进行变形比较，列协调条件 为了使静定基的变形与原超静定梁相同，B处位移必须为0。将图(c)等效如图(d)所示。变形协调条件为： 三、例题 例7-8 3）由物理关系列力补充方程 查表可得， 所以 4）由整体平衡条件求其他约束力 §7-1 工程中的弯曲变形问题 §7-2 梁的挠曲线近似微分方程 §7-3 用积分法求弯曲变形 §7-6 简单静不定梁 §7-5 梁的刚度校核 §7-4 用叠加法求弯曲变形 第七章 弯曲变形 7.1 工程中的弯曲变形问题 梁还必须有足够的刚度，即在受载后不至于发生过大的弯曲变形，否则构件将无法正常工作。例如轧钢机的轧辊，若弯曲变形过大，轧出的钢板将薄厚不均匀，产品不合格；如果是机床的主轴，则将严重影响机床的加工精度。 一、梁的变形 二、工程实例 实例一：起重机大梁 实例二、机床摇臂 7.2 梁的挠曲线近似微分方程 梁在平面内弯曲时，梁轴线从原来沿 x 轴方向的直线变成一条在 xy 平面内的曲线，该曲线称为挠曲线。 某截面的竖向位移，称为该截面的挠度。 某截面的法线方向与x轴的夹角称为该截面的转角。 挠度和转角的大小和截面所处的 x 方向的位置有关，可以表示为关于 x 的函数。 挠度方程（挠曲线方程） 转角方程 一、挠度和转角 挠曲线 挠度 转角 挠度和转角的正负号规定 在图示的坐标系中， 挠度 w 向上为正，向下为负。转角规定截面法线与 x 轴夹角，逆时针为正，顺时针为负,即在图示坐标系中挠曲线具有正斜率时转角 q 为正。 挠度和转角的关系 在小变形假设条件下 挠曲线的斜率（一阶导数）近似等于截面的转角 二、挠曲线近似微分方程 横力弯曲情况下，若梁的跨度远大于梁的高度时，剪力对梁的变形可以忽略不计。但此时弯矩不再为常数。 高等数学公式 在梁小变形情况下， 7.3 用积分法求梁的弯曲变形 梁的挠曲线近似微分方程 对上式进行一次积分,可得到转角方程（等直梁 EI 为常数） 再进行一次积分,可得到挠度方程 其中， C 和 D 是积分常数，需要通过边界条件或者连续条件来确定其大小。 一、边界条件 在约束处的转角或挠度可以确定 二、连续条件 在梁的弯矩方程分段处，截面转角相等，挠度相等。若梁分为n 段积分，则要出现2n 个待定常数，总可找到2n 个相应的边界条件或连续条件将其确定。 例题7-1 如图等直悬臂梁自由端受集中力作用，建立该梁的转角方程和挠曲线方程，并求自由端的转角 和挠度 。 解：（1）按照图示坐标系建立弯矩方程 （2）挠曲线近似微分方程 （3）积分 （4）确定积分常数 由边界条件 代入上面两式 （5）列出转角方程和挠曲线方程，将 C、D 的值代入方程 （6）求B点的挠度和转角 在自由端 ， x = l 例题7-2 如图所示，简支梁受集中力F 作用，已知EI 为常量。 试求B 端转角和跨中挠度。 解：（1）求约束力 FA FB （2）列出弯矩方程 AC段 CB段 （3）建立挠曲线微分方程并积分；由于弯矩方程在C点处分段，故应对AC和CB分别计算 AC段 CB段 利用边界条件和连续条件 确定四个积分常数 AC段 CB段 边界条件: 连续条件: 由于挠曲线在C点处是连续光滑的，因此其左右两侧转角和挠度应相等。 即 得： 得到转角方程和挠度方程 AC段 CB段 （5）求指定截面处的挠度和转角 若 7.4 用叠加