第10章现代编码技术案例.ppt

第10章　分组码 10.1　BCH码10.1.1　BCH码的定义　　BCH码是一类纠正多个随机错误的循环码，是以3个发现者——博斯(Bose)、查德胡里(Chaudhuri）和霍昆格姆(Hocquenghem)姓氏的字头命名的。这是迄今为止发现的最好的线性分组码之一。 BCH码的重要性在于它解决了生成多项式与最小码距之间的关系问题。 该码的纠错能力很强，且构造简便。 10.1　BCH码10.1.1　BCH码的定义　　本原多项式的概念。 10.1　BCH码10.1.2　BCH码及最小汉明距离　　定义1　设m是一正整数，m0是任意整数，GF(q)表示有q个元素的有限域，其中q是一个素数或素数的幂，GF(qm)是GF(q)的扩域，a∈GF(qm)，如果一个循环码由GF(q)上的多项式g(x)生成，并且g(x)的根包含下面d-1个根： a ， a 2， a 3，…， a d－1 　　那么，称这个由g(x)生成的循环码为设计距离为d的q元BCH码。 　　如果定义中g(x)有一个根是GF(qm)中的本原元，那么g(x)生成的BCH码码长必定为n=qm－1，称这种BCH码为本原BCH码，否则称为非本原BCH码。非本原BCH码是存在的，其码长是qm－1的因子。　　BCH码的优势之一在于，如果确定了BCH码的生成多项式g(x)的连续根，则由g(x)生成的BCH码的实际最小汉明距离不小于设计距离。定理10.1.1　BCH码的最小汉明距离至少为d。 10.1.3　BCH码的编码方法　　二元BCH码　　二元信号在工程上最容易实现，因而二元 BCH码在工程上应用最广泛。对给定的正整数m和d(d=2t+1，t2m－1)，二元BCH码的码长、校验位数和最小汉明距离是什么呢？　　定理2　给定正整数m和t，存在一个(n，k)二元BCH码，其生成多项式以a， a 3， a 5，…， a 2t－1为根，其码长n=2m－1或n|2m－1，能纠正t个错误，并且n－k≤mt。　　 10.1.3　BCH码的译码方法　　1. 一般译码方法　　 1）确定BCH码的伴随式；　　 2）寻找错误位置多项式； 3）纠正错误； 2 迭代译码算法 10.2　RS码　　Reed-Solomon码是一类有很强纠错能力的多进制BCH码，也是一类典型的代数几何码。它首先由里德（Reed）和索洛蒙（Solomon）应用MS多项式于1960年构造出来的。 它是一类纠多个随机错误的循环码，具有严格的代数结构，构造方便，便于从理论上对应用进行研究。除了译码算法有些复杂之外，它的纠错能力和译码速度均是其它码类无法比拟的，特别在短和中等码长下其性能接近于理论值。 10.2.1 RS码的定义　　定义:对于一个长度为符号的RS码，每个符号都可以看成是有限域GF（ ）中的一个元素。最小码距为d0符号的RS码的生成多项式具有如下形式： 　　这里， 是GF（ ）中的一个元素。 10.2.1 RS码的定义　　在（n,k）RS码中，输入信号分成kmbit一组，每个码元由mbit组成，因此一个码组共包括k个码元。一个能纠正t个码元错误的RS码的主要参数： 　　 10.2.2 RS码的编码时域编码：时域编译码算法出现较早，由于比较成熟而被广泛采用； 频域编码：频域编译码算法出现的较晚，但由于利用了快速傅立叶正反变换(FFT/IFFT)而提高了编译码速度，具有较大的发展潜力。 这两种算法都比较简单，时域编码只需要运算一次多项式除法，而频域编码只需要计算一次IFFT。 10.2.2 RS码的编码 它们的区别在于：经时域算法得到的码字是系统码，可用于截短编码；而频域算法得到的码字是非系统码，不能用于截短编码。 时域编码：将待编码信息多项式升位后除生成多项式,将所得的余式置于升位的信息多项式之后，就形成RS码 。 RS码的编码方法与CRC一样，也是除以，所以同样可以采用移位寄存器来实现。 10.2.2 RS码的编码 时域编码： 10.2.2 RS码的编码 它们的区别在于：经时域算法得到的码字是系统码，可用于截短编码；而频域算法得到的码字是非系统码，不能用于截短编码。 时域编码：将待编码信息多项式升位后除生成多项式,将所得的余式置于升位的信息多项式之后，就形成RS码 。 RS码的编码方法与CRC一样，也是除以，所以同样可以采用移位寄存器来实现。 10.2.3　RS码的译码方法 R