代数系统的一般性质 5.1.ppt

代数系统的特殊元素 例6 求以下各代数系统的幺元，零元及各元素的逆元（如果存在的话）。 (1)Z , + , “+” 为普通加法。 (2) Zn , ? ，“?”定义为模n加法，x ?y = (x+y)modn. (3)P(S) , ? , “?”为对称差运算。 (4) P(S)，∪, ∩，“∪”,“∩” 为集合的并、交运算 Z , +， 0， Zn , ? ，0， P(S) , ?， ? P(S)，∪, ∩，S， ? 代数系统的特殊元素 例7 关于元素的幂，请计算： (1)整数集上的加法 +： 1-3 = ？ ， 乘法×： 2-3 = ？ (2)集合族P(S)上的对称差 ?： A-3= ? （A ? P(S)） (3)集合Zn={0,1,2, ... , n-1}上的模n加法： x?y = (x+y)modn 求x-3= ? (x ?Zn) 代数系统的特殊元素 定义 设?为S上的二元运算，如果?x, y, z?S满足以下条件： (1) 若x ? y = x ? z且x不是零元，则y = z，(左消去律) (2) 若y ? x = z ? x且x不是零元，则y = z，(右消去律) 就称运算?满足消去律。 代数系统的特殊元素 例8 对于下面给定的集合和该集合上的二元运算，指出该运算的性质，并求出它的幺元、零元和所有的逆元。 (1) Z+ ,* ?x, y?Z+，x*y=lcm(x, y)，即求x和y的最小公倍数。 (2) Q，* ?x, y?Q，x*y=x+y - xy. 代数系统的特殊元素 解：(1) *运算可交换，可结合，是幂等的。 ?x?Z+，x*1=x，1*x=x，1为幺元，不存在零元。只有1有逆元，是它本身，其它整数无逆元。 (2) *运算满足交换律，∵?x, y?Q， x*y = x+y-xy = y+x-yx = y*x. *运算满足结合律，∵?x, y, z?Q，有 (x*y)*z=(x+y-xy)*z=(x+y-xy)+z-(x+y-xy)·z =x+y+z-xy-xz-yz+xyz， x*(y*z)=x*(y+z-yz)=x+(y+z-yz)-x·(y+z-yz) =x+y+z-xy-xz-yz+xyz， ∴(x*y)*z=x*(y*z). 代数系统的特殊元素 (续上)*运算不满足幂等律，∵5?Q，但5*5=5+5-5?5= -15?5. *运算满足消去律，∵?x, y, z?Q，x?1（1为零元）， 证明左消去律成立：若使x*y=x*z，即x+y-xy=x+z-xz，只有y=z时成立。同理可证右消去律也成立。 ?x?Q，有x*0=x+0-x·0=x, 0*x=0+x-0·x=x， ∴0是幺元。 ?x?Q，有x*1=x+1-x·1=1, 1*x=1+x-1·x=1， ∴1是零元。 ?x?Q，欲使x*y=0和y*x=0，即 x+y-xy=0， 解得 即 （逆元） 代数系统的特殊元素 注： 计算幺元、零元、幂等元、逆元等特殊元时，首先可以假设这些元存在，然后根据定义直接得到方程（组），解这个方程（组）就可以计算出这些元素，如果方程无解，则特殊元不存在。 思考： 如何通过运算表观察运算的某些性质及特异元素？ 代数系统的特殊元素 例9 代数结构A={a，b，c}，ο用下表(a)定义, 代数结构B={a，b，c}，*由下表(b)定义。请分析代数结构A、B是否存在单位元、零元、逆元及具有的性质。 * a b c a a a b b a b c c a c c ο a b c a a b b b a b c c a b a (a) (b) 总结 代数系统是带有运算的集合。运算是其核心。根据运算的性质，可将众多的代数系统进行分类。 结合律、交换律、消去律是运算非常重要的性质，幺元（单位元）和逆元，是代数系统中非常重要的元素。其存在与否，决定了代数系统的类别。 作业 课本： 习题 5.2, 5.3，5.7，5.8（练习即可） 5.9，5.11—5.13（作业） * 抽象代数的创始人是两位英年早逝的青年数学家，阿贝尔与伽罗瓦。阿贝尔, 是挪威青年数学家, 乡村牧师之子, 幼年丧父, 家贫。多独创性成果, 但大都未受重视, 贫病而逝。去逝后3天, 柏林大学寄来教授聘书, 让后人叹息！后人曾评价说：“他工作不是为自己，而是为他热爱的科学”。2001，在阿贝尔诞生200周年之际，挪威王国政府宣布，设立面向国