任意角的正弦函数、余弦函数的定义及单位圆与周期性(北师大版).ppt

例3 确定下列各三角函数值的符号： ⑴ cos250°; ⑵ sin(-π/4)。 * 1.了解单位圆的概念. 2.借助单位圆理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义.(难点) 3.理解周期函数、周期、最小正周期的定义. （重点） 1、在初中我们是如何定义锐角三角函数的？ 复习回顾 A a b C B c 在直角三角形ABC中，∠C=90°，sinα，cosα，tanα分别叫作角α的正弦、余弦和正切，它们的值分别等于什么？ 当角α不是锐角时，我们必须对sinα，cosα，tanα的值进行推广，以适应任意角的需要.如何定义任意角的三角函数呢? O a b M P y x 2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？ 新课 导入 y x 2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？ 新课 导入 ﹒ ﹒ o 如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？ ﹒ ∽ 诱思 探究 M O y x P(a,b) 3.锐角三角函数（在单位圆中） 以原点O为圆心，以单位 长度为半径的圆，称为单位圆. y o x 1 M 由三角形相似知识可知,比值 与点P(u,v)在终边上的位置无关,只与角 有关. 4.任意角的三角函数定义 设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 那么:（1） 叫做 的正弦，记作 ，即 ； （2） 叫做 的余弦，记作 ，即 ； （3） 叫做 的正切，记作 ，即 。 所以，正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将他们称为三角函数. ﹒ 使比值有意义的角的集合 即为三角函数的定义域. 注：三角函数 sinα=y，cosα=x都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标(比值)为函数值的函数。通常，我们用x表示自变量，即表示角的大小(弧度制），用y表示函数值，这样就定义了任意角的三角函数y=sinx，y=cosx，y=tanx。 x y o 的终边 说 明 （1）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点 横坐标的比值. 的横坐标， 正切就是 交点的纵坐标与 . （2） 正弦、余弦总有意义.当 的终边在 横坐标等于0， 无意义，此时 轴上时，点P 的 （3）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系， 三角函数可以看成是自变量为实数的函数. 任意角的三角函数的定义过程： 直角三角形中定义锐角三角函数 直角坐标系中定义锐角三角函数 单位圆中定义锐角三角函数 单位圆中定义任意角的三角函数 例1 求 的正弦、余弦和正切值. 解：在直角坐标系中，作 ，易知 的终边与单位圆的交点坐标为 所以 思考：若把角 改为 呢? ， ， 实例 剖析 ﹒ ﹒ 思考：由三角函数的定义，如何求任意角α的正弦、余弦值？ 提示：求任意角α的正弦、余弦值分两步，第一步求出角α的终边与单位圆的交点P，第二步写出点P的坐标，其中纵坐标为正弦值，横坐标为余弦值. 例2 已知角 的终边经过点 ，求角 的正弦、余弦和正切值 . 解:由已知可得 设角 的终边与单位圆交于 ， 分别过点 、 作 轴的垂线 、 ＼ 于是， ∽ 设角 是一个任意角， 是终边上的任意一点， 点 与原点的距离 那么① 叫做 的正弦，即 ② 叫做 的余弦，即 ③ 叫做 的正弦，即 任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点 在角的终边上的位置无关. 定义推广： 于是， 巩固 提高 练习 1、已知角 的终边过点 ， 求 的三个三角函数值. 解：由已知可得： 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 在直角坐标系的单位圆中，求各个角终边与单位圆的交点坐标，并将各特殊角的正弦函数值、余弦函数值填入下表 观察此表格中的数据,你能发现函数y=sinx和y=cosx的变化有什么特点吗？ 1.根据三角函数的定义，确定它们的定义域 （弧度制） 探 究 定义域