保险精算 第三章 生命表基础(一).ppt

第3章 生命表基础 人寿保险是以人的生命为保险标的的保险，即以被保险人在一定时期内死亡或生存为给付条件，因此被保险人寿命的长短对于保险人来说是非常重要的。对于生命表的研究是寿险精算的基础研究。 §3.1 生命函数 3.1.1 分布函数 用X表示初生婴儿未来寿命的随机变量，则X的分布函数 可以表述为： 这是0岁的人在x岁之前死亡的概率。显然，F(0)=0 X的概率密度函数记为f (x),则： f (x)= 表示x岁的人在50岁以后死亡的概率，即在50岁之后仍然生存的概率，则有： 表示活到x岁的人在x岁与x+1岁之间死亡的概率，即： 表示 X的期望值，即新生婴儿的平均寿命，则： 3.1.2 生存函数 生存函数的定义为： 意义：s(x)称为生存函数，表示新生儿(0岁的人)能活到 x岁的概率，即在x岁以后死亡的概率。 与分布函数的关系： s(0)=1 与密度函数的关系： 新生儿将在x岁至x+1岁之间死亡的概率： 3.1.3 T(x)剩余寿命 1:定义： 用(x)表示一个x岁的人， T(x)=X-x表示(x)未来寿命的随机变量，即剩余寿命，简称为余命。 T的分布就是已知Xx时X的条件分布，有关的T概率就是已知Xx时相应的X的条件概率，用 表示T的分布函数 用 表示T的概率密度函数，则： 用 表示x岁的人在x+t岁以前死亡的概率，则： 用 表示x岁的人在x+t岁时仍活着的概率，则： 和 分别表示T(x)的分布函数和(x)的生存函数 当x=0时，有T(0)=X和 当t=1时，习惯上用 和 表示 和 表示x岁的人在未来一年内死亡的概率， 表示x岁的人在未来一年内仍活着的概率 用 表示x岁的人在活过t年后的u年内死亡的概率，即(x)在(x+t)岁与(x+t+u)岁之间死亡的概率，则： 当u=1时， 表示 (x)在(x+t)岁与(x+t+1)岁之间死亡的概率。 用生存函数表示死亡率和生存率： (3.1.8) (3.1.9) (3.1.10) 上式可解释为x岁的人在(x+t)岁与(x+t+u)岁之间死亡的概率等于这个人活过t年的概率与其在(x+t)岁时在年内死亡的概率之积 3.1.4 K(x)整值剩余寿命 只考虑(x)未来能够存活的整年数时， 用K(x) 表示(x)的取整余命(简记为K)， 这表示K(x)是不超过T(x)的最大整数 例：某个年龄为50岁的人(开始观察时)，在55岁零6个月时死亡，则他的余命T(50)=5.5,而K(50)=5 K(x)是一个离散型随机变量，其所有可能的取值为0,1,2, … 概率函数 可以用生存函数s(x)表示K(x)的分布，即： 3.1.5 死力 用 表示死力，用生存函数的相对变化率 来定义 T(x)的密度函数可表示为 死亡效力与密度函数的关系 死亡效力表示剩余寿命的密度函数 3.1.6 s(x)的解析表达式 De Moivre模型假设(1729) 式中，w为人的极限年龄，即假定所有人都在w岁之前死亡。 Gompertze模型假设(1825) Makeham模型(1860) Weibull模型(1939) 在这些假设中，w,B,c,A,k和n都是参数，需要通过统计方法确定。 De Moivre假设的生存函数是最简单的，设人的极限年龄为100岁，则： 由此可得： qx 是x的增函数，随着年龄的增大，x岁的人在1年内死亡的概率也增大。这对于一定年龄以上的人适用，但不适合年龄很小的人。 即x岁的人在未来任