保险精算 第三章 生命表基础(一).ppt

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保险精算 第三章 生命表基础(一)

第3章 生命表基础 人寿保险是以人的生命为保险标的的保险,即以被保险人在一定时期内死亡或生存为给付条件,因此被保险人寿命的长短对于保险人来说是非常重要的。对于生命表的研究是寿险精算的基础研究。 §3.1 生命函数 3.1.1 分布函数 用X表示初生婴儿未来寿命的随机变量,则X的分布函数 可以表述为: 这是0岁的人在x岁之前死亡的概率。显然,F(0)=0 X的概率密度函数记为f (x),则: f (x)= 表示x岁的人在50岁以后死亡的概率,即在50岁之后仍然生存的概率,则有: 表示活到x岁的人在x岁与x+1岁之间死亡的概率,即: 表示 X的期望值,即新生婴儿的平均寿命,则: 3.1.2 生存函数 生存函数的定义为: 意义:s(x)称为生存函数,表示新生儿(0岁的人)能活到 x岁的概率,即在x岁以后死亡的概率。 与分布函数的关系: s(0)=1 与密度函数的关系: 新生儿将在x岁至x+1岁之间死亡的概率: 3.1.3 T(x)剩余寿命 1:定义: 用(x)表示一个x岁的人, T(x)=X-x表示(x)未来寿命的随机变量,即剩余寿命,简称为余命。 T的分布就是已知Xx时X的条件分布,有关的T概率就是已知Xx时相应的X的条件概率,用 表示T的分布函数 用 表示T的概率密度函数,则: 用 表示x岁的人在x+t岁以前死亡的概率,则: 用 表示x岁的人在x+t岁时仍活着的概率,则: 和 分别表示T(x)的分布函数和(x)的生存函数 当x=0时,有T(0)=X和 当t=1时,习惯上用 和 表示 和 表示x岁的人在未来一年内死亡的概率, 表示x岁的人在未来一年内仍活着的概率 用 表示x岁的人在活过t年后的u年内死亡的概率,即(x)在(x+t)岁与(x+t+u)岁之间死亡的概率,则: 当u=1时, 表示 (x)在(x+t)岁与(x+t+1)岁之间死亡的概率。 用生存函数表示死亡率和生存率: (3.1.8) (3.1.9) (3.1.10) 上式可解释为x岁的人在(x+t)岁与(x+t+u)岁之间死亡的概率等于这个人活过t年的概率与其在(x+t)岁时在年内死亡的概率之积 3.1.4 K(x)整值剩余寿命 只考虑(x)未来能够存活的整年数时, 用K(x) 表示(x)的取整余命(简记为K), 这表示K(x)是不超过T(x)的最大整数 例:某个年龄为50岁的人(开始观察时),在55岁零6个月时死亡,则他的余命T(50)=5.5,而K(50)=5 K(x)是一个离散型随机变量,其所有可能的取值为0,1,2, … 概率函数 可以用生存函数s(x)表示K(x)的分布,即: 3.1.5 死力 用 表示死力,用生存函数的相对变化率 来定义 T(x)的密度函数可表示为 死亡效力与密度函数的关系 死亡效力表示剩余寿命的密度函数 3.1.6 s(x)的解析表达式 De Moivre模型假设(1729) 式中,w为人的极限年龄,即假定所有人都在w岁之前死亡。 Gompertze模型假设(1825) Makeham模型(1860) Weibull模型(1939) 在这些假设中,w,B,c,A,k和n都是参数,需要通过统计方法确定。 De Moivre假设的生存函数是最简单的,设人的极限年龄为100岁,则: 由此可得: qx 是x的增函数,随着年龄的增大,x岁的人在1年内死亡的概率也增大。这对于一定年龄以上的人适用,但不适合年龄很小的人。 即x岁的人在未来任

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