信号与系统 1.4 阶跃函数和冲激函数.ppt

§1.4 阶跃函数和冲激函数 一、单位阶跃信号 一、单位阶跃函数 2. 延迟单位阶跃信号 3. 阶跃函数的作用 1.函数序列定义δ(t) 2. 狄拉克(Dirac)定义冲激函数 冲激函数的平移（书14页） 3. δ(t)与ε(t)的关系 引入冲激函数之后，间断点的导数也存在 2.冲激偶函数（冲激函数的一阶导数） 三． 冲激函数的性质 1. 与普通函数的乘积 2. 移位 3. 对?(t)的尺度变换 举例 4、奇偶性 冲激偶函数的性质 1、与普通函数的乘积 例 2、冲激偶的积分 冲激函数的性质总结 第 * 页 ■ ▲ 第 * 页 ■ 阶跃函数 冲激函数 是两个典型的奇异函数 函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积分有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异函数。 选定一个函数序列γn(t)如图所示。 1. 阶跃信号的产生（定义） 下面采用求函数极限的方法定义阶跃函数。 对函数序列γn(t) 求极限。 1. 定义 我们称γn(t)的极限为阶跃函数 （1）可以方便地表示某些信号 f(t) = 2ε(t)- 3ε(t-1) +ε(t-2) （2）用阶跃函数表示信号的作用区间 （3）积分 二．单位冲激函数 单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大，作用时间极短一种物理量的理想化模型。 函数序列定义δ(t) 狄拉克(Dirac)定义 冲激函数与阶跃函数关系 冲激函数的性质 对γn(t)求导得到如图所示的矩形脉冲pn(t) 。 求导 高度(幅度)无穷大，宽度无穷小，面积（强度）为1的对称窄脉冲。 我们把这个函数定义为冲积函数。 函数值只在t = 0时不为零； 积分面积为1； 求导 积分 注意两个 积分的区别： f(t) = 2ε(t +1)-2ε(t -1) f′(t) = 2δ(t +1)-2δ(t -1) 求导 τ↓ 与普通函数的乘积 移位 尺度变换 奇偶性 对于平移情况： 如果f(t)在t = 0处连续，且处处有界，则有 与普通函数乘积的证明 分t = 0和t ≠0 两种情况讨论 当t ≠0 时， δ(t)= 0， f(t)δ(t)= 0 当t = 0 时， δ(t) ≠ 0， f(t)δ(t)= f(0)δ(t) 证明： 例 1.4 –1 试化简下列各信号的表达式。 与普通函数乘积举例 0 ε(t) 推论: (1) δ(2t) = 0.5δ (t) 所以， δ(– t) = δ (t) 为偶函数， δ’(– t) = – δ’ (t)为奇函数 冲激信号尺度变换的证明 从 定义看： p(t)面积为1， 强度为1 p(at)面积为 ， 强度为 冲激信号尺度变换举例 例1 已知f(t)，画出g(t) = f ’(t)和 g(2t) 求导，得g(t) 压缩，得g(2t) 与普通函数的乘积 积分性质 f(t) δ’(t) = f(0) δ’(t) – f ’(0) δ (t) [ f(t) δ(t)]’ = f(t) δ’(t) + f ’(t) δ (t) f(t) δ’(t) = [ f(t) δ(t)]’ – f ’(t) δ (t) = f(0) δ’(t) – f ’(0) δ (t) 证明： ① δ’(t)的平移： ② 但是 * *