信号分析与处理3-3DFT.ppt

3.5 DFT（离散傅里叶变换） ---------Discrete Fourier Transform 3.5.2 DFT与DTFT的关系 3.5.3 离散傅里叶变换的性质 * 3.5.1 DFT定义式 对于一个周期序列xp(n) ，定义它的第一个周期的有限长序列称为这一周期序列的主值序列(principal value sequence)。用x(n)表示，为 主值序列也可以表示成:周期序列和一个矩形序列相乘 x(n) = xp(n) RN(n) 周期序列xp(n)可以看成是有限长序列x(n)以N为周期的延拓而形成的，其关系式为 相应的主值序列 X(k)和Xp(k) 的关系为 有了主值序列的概念，把DFS的定义式改写为 现在给出有限长序列离散傅里变换的定义。设有限长序列x(n)长度为N（ 0 ? n ? N?1)，它的离散傅里叶变换X(k)仍然是一个长度为N（ 0 ? k ? N?1 ）的频域有限长序列。DFT是一种“借用”形式。人为地把x(n)周期延拓构成xp(n)，使x(n)充当其主值序列，于是Xp(k)就成为离散、周期性频率函数，借用Xp(k)的主值序列X(k)定义为“DFT”。正逆变换的关系式为： 写成矩阵形式： 简写作 【例3-4】求矩形脉冲序列x(n) = RN(n)的DFT。 解：由定义写出 当k = 0时，对应 因此X(0) = N。 故对应非零之k值X(k)全部等于零。 此结果表明，矩形脉冲序列的DFT仅在k = 0样点取得N值，在其余（N ?1）个样点都是零。可以写作 X(k) = N?(k) 不难想到，将RN (n)周期延拓（周期等于N）成为无始无终幅度恒为单位值的序列，取离散傅里叶级数即N? (k)。这种现象犹如在连续时间系统分析中的直流信号其傅里叶变换是冲激函数。 当k = 1，2，…，N ?1时，则有 例3-4 利用矩阵表达式求 x(n)=R4(n)的DFT。再由所得X(k)经IDFT反求x(n)，验证结果之正确性。 解：N = 4 0 1 2 3 4 k X4(k) 0 1 2 3 1 n x4(n) 举例：已知有限长序列 x(n) = { 1, 2, ?1, 3 }，求X(k)。 1 2 ?1 3 5 2+j ? 5 2?j x(n) = { 1, 2, ?1, 3 } = x(0) + x(1) e?j2?/4?k + x(2) e?j2?/4?2k + x(3) e?j2?/4?3k X(0) = x(0) + x(1) + x(2) + x(3) = 1 + 2 ?1 + 3 = 5 X(1) = x(0) + x(1) e?j2?/4 + x(2) e?j2?/4?2 + x(3) e?j2?/4?3 = 1 + 2 ?(? j) ?1 ?(? j)2 + 3 ?(? j)3 =1 ? 2j +1 +3j = 2 + j X(2) = x(0) + x(1) e?j2?/4 ?2 + x(2) e?j2?/4?4 + x(3) e?j2?/4?6 = 1 + 2 ?(? j)2 ?1 ?(? j)4 + 3 ?(? j)6 = ? 5 X(3) = x(0) + x(1) e?j2?/4 ?3 + x(2) e?j2?/4?6 + x(3) e?j2?/4?9 = 1 + 2 ?(? j)3 ?1 ?(? j)6 + 3 ?(? j)9 = 2 ? j 通常把信号的傅里叶变换称为信号的频谱，那么有限长序列的离散傅里叶变换是否就是它的频谱呢？ 有限长序列作为非周期序列，它的频谱即它的傅里叶变换DTFT---- X(e j?)，是一个连续的周期性的频谱；而有限长序列的DFT---- X(k)却是离散的频谱，两者显然不是等同的。但两者也不是截然无关的，相反，存在着相当重要的联系，这就是有限长序列的离散傅里叶变换X(k)正是此序列的傅里叶变换X(e j?)的抽样值。 ∵序列有限长，满足绝对可和条件，则 比较两式，当 两式相等 在单位圆上以?1= 2?/N为间隔的N个等分点上X(e j?)的值，即为X(k)。 Re Im 1 2?/N ? X(e j?) ? 2? x(n)可以由X(k)表示，而x(n)的z变换X(z)和频谱 X(ej?)都是由x