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第一章 二维线性系统分析Analysis of 2-Dimensional Linear System  §1.4 抽样定理 Sampling Theorem 问题的提出: 对于一个连续的信号(模拟信号), 是否必须连续地发送,才能传递信号所包含的全部信息? 答:为了完全描述一个频带受限制的信号(带限信号), 可以对它在离散点(时间或空间点)进行抽样. 抽样定理 若函数g (x, y) 不包括高于Bx 和By 的频率分量,则此函数可以由一系列间隔(X, Y )等于或小于1/(2Bx)和1/(2By) 处的函数值完全决定. X, Y: 时/空域, 间隔; Bx , By :频域, 带宽 §1.4 抽样定理 1、函数的抽样 上式表明,抽样后的函数gs(x,y)由间距分别为X和 Y的d 函数阵列构成, 每个d 函数下的体积正比于该点的函数值. 将连续函数g(x,y)在间隔为X和Y的分立的空间点上抽样, 就是与梳函数相乘的过程.抽样后的函数系列用gs(x,y)表达: g(x) 0 x = x 0 x comb(x/X) . 0 gs(x) # §1.4 抽样定理 1、函数的抽样：二维情形 §1.4 抽样定理 抽样函数gs(x,y)的频谱 经过抽样后函数的频谱,是原连续函数的频谱以间隔1/X, 1/Y重复平移并叠加. §1.4 抽样定理 二、函数的抽样抽样后函数gs(x,y)的频谱 如果G (fx, fy)频带无限制, 则这些频谱函数必然会叠加 Gs(fx, fy) 即使G (fx, fy)是频带有限的函数, 若X,Y取值不合适, 这些重复的频谱函数之间也会互相重叠. fx Gs(fx) 0 1/X 1/X 只有使这些频谱函数互不重叠, 才有可能用滤波的方法,从中提取出原函数的频谱, 进而求出原函数. fx Gs(fx) 0 §1.4 抽样定理 二、函数的抽样由抽样值还原出原函数的条件 fx G(fx) -Bx Bx 0 Gs(fx, fy) (2) 原函数抽样时,在x方向和y方向抽样点的间隔 X 和Y不得大于1/(2 Bx)和1/(2 By), (1) g(x,y)是限带函数, 其频谱G (fx, fy)仅在频率平面上一个有限区域 上不为零. 2 Bx, 2 By : 带宽: 包围 的最小矩形在 fx 和 fy方向上的宽度. 则Gs中各个区域(间隔为1/X,1/Y)的频谱就不会重叠 fx Gs(fx) -Bx Bx 0 1/X 有可能用滤波的方法,提取出原函数的频谱G, 进而求出原函数. §1.4 抽样定理 二、函数的抽样由抽样值还原出原函数的条件 fx Gs(fx) -Bx Bx 0 1/X 则Gs中各个区域(间隔为1/X,1/Y)的频谱就不会重叠, 有可能用滤波的方法,提取出原函数的频谱G, 进而求出原函数. 称为奈奎斯特(Niquest)间隔 只要以小于或等于奈奎斯特间隔对g(x,y)抽样,则gs(x,y)的频谱就是G (fx, fy)的周期性复现,包含了g(x,y)的全部信息. §1.4 抽样定理 2、原函数的复原理想低通滤波 为了从gs(x,y)中还原出g(x,y), 将gs(x,y)通过一个理想低通滤波器,只允许所有频率|fx|Bx, |fy|By 的频率分量无畸变地通过,而将此区域以外的频率分量完全阻塞. fx Gs(fx) -Bx Bx 0 1/X 此理想低通滤波器的频率特性为频域中的门函数 §1.4 抽样定理 2、原函数的复原理想低通滤波 用频域中宽度2Bx和2By的位于原点的矩形函数作为滤波函数: 滤波过程 : 根据卷积定理，在空间域得到: §1.4 抽样定理 2、原函数的复原理想低通滤波 若取最大允许的抽样间隔，即X =1/(2 Bx)，Y=1/(2 By) ，则用函数的抽样值计算出原函数： 原函数在分立点上的抽样值 插值函数 插值:由抽样点函数值计算非抽样点函数值 空域中等效于： §1.4 抽样定理 抽样和还原的图示 g(x) 0 x comb(x/X) x . 0 = x 0 gs(x) * Xcomb(Xfx) 0 1/X fx -1/X ... ... fx G(fx) -Bx Bx 0 = fx Gs(fx) 0 Bx -Bx 3Bx -3Bx 1/X -1/X X1/(2Bx) F.T. F.T. F.T. 抽样 fx rect(fx/2Bx) -Bx Bx 0 . fx G(fx) -Bx Bx 0 = ? F.T. F.T. 还原 §1.4 抽样定理 抽样和还原的图示 x 0 gs(x) 2Bxsinc(2Bx) fx 0 1 2Bx 1 2Bx x 0 gs(x) -X X 2X -2X * = Sinc函数称为内插函数 频域滤波相