第16章连续时间美式期权定价模型案例.ppt

第16章 连续时间美式期权定价模型 16.1 美式期权定价模型概述 16.2 股票价格行为模型 16.3 无套利机会股票价格模型 16.4 美式看涨期权定价模型 16.5 美式看跌期权定价模型 因为美式期权没有固定的执行时间，学者很难用解析模型为美式期权定价。本章主要介绍作者2008年提出的连续时间美式期权定价模型。内容包括股票价格行为模型，连续时间美式期权定价模型。 16.1 美式期权定价模型概述 1973年，Fischer Black、Myron Scholes和Robert Merton在欧式股票期权定价模型研究中，取得突破性进展。提出不派息（和派息）股票期权定价模型，又称为Black-Scholes模型。该模型的提出为股票期权定价提供了理论依据，同时也促进了20世界80年代和90年代金融工程的发展。为了表彰他们对人类所做出的贡献，Myron Scholes和Robert Merton于1997年获得诺贝尔经济学奖。遗憾的是Fischer Black于1995年逝世。 Cox、Ross和 Rubinstein(1979)提出的二叉树模型，成为美式期权定价的主流模型。为了提高二叉树的收敛速度，Hull和White（1994）提出三叉树模型。Boyle(1977)提出蒙特卡罗模拟模型。Brennan和Schwartz(1978)提出有限差分模型。Duan(1995)提出GARCH（广义自回归条件异方差）模型。 经过多年的研究，作者已经研制出不派息连续时间美式期权定价模型（2008）,在此基础上又提出连续时间美式外汇期权定价模型（2009），这两个模型的复杂程度与BS模型相似。通过实证研究，这两个模型的计算结果与二叉树模型相比，看涨期权的最大相对误差仅为2.47%，看跌期权的最大误差仅为-0.6545%。 16.2 股票价格行为模型 假设股票的价格波动为零，而且不派息。如果投资者的期望收益率为 ，零时刻的股票价格为 ，则持股 年股票价格的期望值 应为： （16-1） 公式（16-1）与银行存款本金和利息的计算公式完全相同。 为本金； 为银行存款利率； 为存款年限； 为 年后的本金和利息。为了数学处理上的方便，我们采用连续复利形式，则模型（16-1）变为： （16-2） 从公式（16-2）中我们可以看出，当股票的价格波动为零时，股票价格的期望值以年利率为的复利形式增长，与银行存款有相同的增长方式。 由此可见，用公式（16-2）表示t时刻股票价格的期望值是合理的。把式（16-2）两边同除以 ，并取对数得到： （16-3） 其中 是持股 年的对数收益率，而不是年收益率，年收益率为 。 假设 是单位时间内股票对数收益率的方差，则 为 年内收益率 的方差。只有在公式（16-3）中加入随机项，才能真实全面地反映股票价格的变化。 通过上面的分析，股票价格过程 可以用下列形式的随机过程来描述 （16-4） 或 （16-5） 其中： 为 测度下的标准维纳（Wiener）过程， 。 （16-6） 其中： 为标准正态分布变量， 。 公式（16-5）两边同除以 ，并取对数得到： （16-7） 对数收益率服从下列形式的正态分布 （16-9） 方程（16-5）是描述股票价格变化的合理模型。 16.3 无套利机会股票价格模型 一般情况下，国库券以政府为担保，价格受随机因素的影响较少，波动也较少，因此，买国库券属于无风险投资。而股票的价格受随机因素的影响较大，波动也较大，因此，买股票属于风险投资。单位国库券的价格和股票的价格分别用下列模型表示： （16-10） （16-11） 其中： 为 时刻单位国债的价格； 为 时刻股