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光学信息技术原理及应用(第二版)课后答案
习题解答
已知不变线性系统的输入为
系统的传递函数。若b取(1)(2),求系统的输出。并画出输出函数及其频谱的图形。
答:(1) 图形从略,
(2) 图形从略。
1.2若限带函数的傅里叶变换在长度为宽度的矩形之外恒为零,
如果,,试证明
证明:
如果, ,还能得出以上结论吗?
答:不能。因为这时。
对一个空间不变线性系统,脉冲响应为
试用频域方法对下面每一个输入,求其输出。(必要时,可取合理近似)
(1)
答:
(2)
答:
(3)
答:
(4)
答:
1.4 给定一个不变线性系统,输入函数为有限延伸的三角波
对下述传递函数利用图解方法确定系统的输出。
(1)
(2)
答:图解方法是在频域里进行的,首先要计算输入函数的频谱,并绘成图形
方括号内函数频谱图形为:
图1.4(1)
图形为:
图 1.4(2)
因为的分辨力太低,上面两个图纵坐标的单位相差50倍。两者相乘时忽略中心五个分量以外的其他分量,因为此时的最大值小于0.04%。故图解频谱结果为:
图 1.4(3)
传递函数(1)形为:
图 1.4(4)
因为近似后的输入函数频谱与该传递函数相乘后,保持不变,得到输出函数频谱表达式为:
其反变换,即输出函数为:
该函数为限制在区间内,平均值为1,周期为3,振幅为1.37的一个余弦函数与周期为1.5,振幅为0.342的另一个余弦函数的叠加。
传递函数(2)形为:
图 1.4(5)
此时,输出函数仅剩下在及两个区间内分量,尽管在这两个区间内输入函数的频谱很小,相对于传递函数(2)在的零值也是不能忽略的,由于
可以解得,通过传递函数(2)得到的输出函数为:
该函数依然限制在区间内,但其平均值为零,是振幅为0.043,周期为0.75,的一个余弦函数与振幅为0.027,周期为0.6的另一个余弦函数的叠加。
1.5 若对二维函数
抽样,求允许的最大抽样间隔并对具体抽样方法进行说明。
答:
也就是说,在X方向允许的最大抽样间隔小于1/2a,在y方向抽样间隔无限制。
1.6 若只能用表示的有限区域上的脉冲点阵对函数进行抽样,即
试说明,即使采用奈魁斯特间隔抽样,也不能用一个理想低通滤波器精确恢复。
答:因为表示的有限区域以外的函数抽样对精确恢复也有贡献,不可省略。
1.7 若二维不变线性系统的输入是“线脉冲”,系统对线脉冲的输出响应称为线响应。如果系统的传递函数为,证明:线响应的一维傅里叶变换等于系统传递函数沿轴的截面分布。
证明:
1.8 如果一个空间不变线性系统的传递函数在频率域的区间,之外恒为零,系统输入为非限带函数,输出为。证明,存在一个由脉冲的方形阵列构成的抽样函数,它作为等效输入,可产生相同的输出,并请确定。
答:为了便于从频率域分析,分别设:
物的空间频谱 ;
像的空间频谱 ;
等效物体的空间频谱 ;
等效物体的像的空间频谱
由于成像系统是一个线性的空间不变低通滤波器,传递函数在之外恒为零,故可将其记为:
、
利用系统的传递函数,表示物像之间在频域中的关系为
在频域中我们构造一个连续的、二维周期性分布的频域函数,预期作为等效物的谱,办法是把安置在平面上成矩形格点分布的每一个点周围,选择矩形格点在、方向上的间隔分别为和,以免频谱混叠,于是
(1)
对于同一个成像系统,由于传递函数的通频带有限,只能允许的中央一个周期成份()通过,所以成像的谱并不发生变化,即
图1.8用一维形式表示出系统在频域分别对和的作用,为简单计,系统传递函数在图中表示为。
图 题1.8
既然,成像的频谱相同,从空间域来看,所成的像场分布也是相同的,即
因此,只要求出的逆傅立叶变换式,就可得到所需的等效物场,即
带入(1)式,并利用卷积定理得到
(2)
上式也可以从抽样定理来解释。
是一个限带的频谱函数,它所对应的空间域的函数可以通过抽样,用一个点源的方形阵列来表示,若抽样的矩形格点的间隔,在方向是,在方向是,就得到等效物场
; (3)
(4)
把(3)、(4)式代入(2)式,得到
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