初一数学：巧添平行线解题.doc

年 级 七年级 学 科 数学 版 本 通用版 课程标题 巧添平行线解题 一、平行线的性质与判定 对比理解： 二、拐角处巧添平行线 在求解有关平行线中角的问题时，我们可以在转折点处添加辅助线——平行线，从而构造出特殊位置关系的角。 如（1）如图所示，直线AE//CD，EBF=135°，BFD=60°，则D等于（ ） A. 75° B. 45° C. 30° D. 15° 解析：由图形可看出，在两条平行线AE、CD之间出现了一个转折角，即BFD，因此我们可以过点F作与AE、CD平行的直线GH，则EBF+HFB=180°，HFD=D。 因为EBF=135°，所以BFH=45° 又因为BFD=60°，所以HFD=15°，所以D=15° 答案：D （2）如图所示，AB//CD，若ABE=120°，DCE=35°，则BEC=_____________度。 解析：题中出现转折角，即BEC，可过点E作与AB、CD平行的直线FG，则ABE +BEF=180°，FEC=ECD。 ∵ABE=120°，DCE=35° ∴BEF=60°，FEC=35° 所以BEC=BEF+FEC=60°+35°=95° 答案：95° 如图所示。AE∥BD，∠1=3∠2，∠2=25°，求∠C。 解析：利用平行线的性质，可以将角“转移”到新的位置，如∠1=∠DFC或∠AFB。若能将∠1、∠2、∠C“集中”到一个顶点处，则有∠1=∠DFC=∠C+∠2，即∠C=∠1－∠2=2∠2=50°。 答案：解：过F到FG∥CB，交AB于G ∴∠C=∠AFG（同位角相等） ∴∠2=∠BFG（内错角相等） ∵AE∥BD ∴∠1=∠BFA（内错角相等） ∴∠C=∠AFG=∠BFA－∠BFG =∠1－∠2=3∠2－∠2 =2∠2=50°。 故答案为50°。 点拨：运用平行线的性质，将角集中到适当位置，是添加辅助线（平行线）的常用技巧。角的等量代换的运用是正确解答本题的关键。 一块四边形的地（如图）（EO∥FK，OH∥KG）内有一段曲折的水渠，现在要把这段水渠EOHGKF改成直的。（即两边都是直线）但进水口EF的宽度不能改变，新渠占地面积与原水渠面积相等，且要尽可能利用原水渠，以节省工时。那么新渠的两条边应当怎么作？写出作法，并加以证明。 解析：①延长EO和FK，即得所求新渠；②连接EH，FG。过O作EH平行线交AB于N，过K作FG平行线交于AB于M。连接EN和FM，则EN，FM就是新渠的两条边界线。比较两种作法，即可求出最节省工时的方法。 答案：解：由下图知OK∥AB，延长EO和FK，即得所求新渠。这时，HG=GM（都等于OK），且OK∥AB，故△OHG的面积和△KGM的面积相同。即新渠占地面积与原渠面积相等。而且只挖了△KGM这么大的一块地。 我们再看另一种方法，如下图，作法：①连接EH，FG。 ②过O作EH平行线交AB于N，过K作FG平行线交于AB于M。 ③连接EN和FM，则EN，FM就是新渠的两条边界线。 又EH∥ON， ∴△EOH面积=△FNH面积。 从而可知左半部分挖去和填出的地一样多，同理，右半部分挖去和填出的地也一样多。即新渠面积与原渠的面积相等。 由图可知，第二种作法用工较多（要挖的面积较大）。 故应选第一种方法。 点拨：本题考查了平行线的性质及三角形的面积求法，难度较大，注意平行线性质的熟练运用。 学习了平行线的知识后，我们知道平行线有三条性质，当两直线平行时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。因此，在求解有关平行线中角的问题时，我们可以在转折点处添加辅助线——平行线，从而构造出特殊位置关系的角，为解题架桥铺路。 如图，直线a∥b，直线AB交a与b于A、B，CA平分∠1，CB平分∠2，求证：∠C=90°。 解析：由于a∥b，∠1，∠2是两个同侧内角，因此∠1+∠2=180°， 那么90°， 过C点作直线l，使l∥a（或b）即可通过平行线的性质得到 与C相等， 从而实现等角转移。 答案： 证明：过C点作直线l，使l∥a ∵a∥b ∴b∥l ∴∠1+∠2=180°（同旁内角互补） ∵AC平分∠1，BC平分∠2 ∴ 又∵（内错角相等） ∴90° ∴90°。 点拨：灵活添加平行线，熟悉平行线的性质和角平分线的性质的应用。两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。 （答题时间：45分钟） 一、选择题 *1. 如图，∠1与∠2互补，∠3=135°，则∠4的度数是（ ） A. 45° B. 55° C. 65° D. 75° *2. 如图，∠1与∠2互补，∠3=130°，则∠4的度数是（ ） A. 40° B. 45° C. 50° D. 55° **3. 如图所示是一条街道的路线图，