初三-几何问题之角平分线题型.doc

学员编号： 年 级： 课 时 数： 3 学员姓名： 辅导科目： 学科教师： 授课类型 星 级 1.掌握角平分线的性质和判定； 2.综合应用角的平分线的性质和判定解决相关问题； 3.综合应用垂直平分线、等腰三角形、四边形等知识解决相关问题； 4.学习分析问题、解决问题的能力。 授课时间 教学内容 ——几何问题之 1.掌握角平分线的性质和判定； 2.综合应用角的平分线的性质和判定解决相关问题； 3.综合应用垂直平分线、等腰三角形、四边形等知识解决相关问题； 4.学习分析问题、解决问题的能力。 知识要点详解： 1.角平分线的性质定理： （1）角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 （2）定理的数学表示：如图1，已知是的平分线，是上一点，若 于点，于点，则。 （3）定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； （4）角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线。 2.角平分线性质定理的逆定理： （1）角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。 （2）定理的数学表示：如图2，已知点在的内部，且于，于，若，则点在的平分线上。 （3）定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线。 （4）注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系。 3.关于三角形三条角平分线的定理： （1）关于三角形三条角平分线交点的定理： 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。 定理的数学表示：如图3，如果、、分别是的内角、、的平分线，那么： ① 、、相交于一点； ② 若、、分别垂直于、、于点、、，则。 定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题。 （2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系： 三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部。 4.关于线段的垂直平分线和角平分线的作图： （1）会作已知线段的垂直平分线； （2）会作已知角的角平分线； （3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形. 角平分线定理使用中的几种辅助线作法：（如下图示） 1.已知角平分线，构造全等三角形； 2.已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段； 3.已知角平分线和其上面的一点，过这一点作角的两边的垂线段。 三.角平分线性质定理之联想： 1.由角平分线的性质联想两线段相等； 2.由角平分线的轴对称性构造全等三角形； 3.过角平分线上一点作一边的平行线，构成等腰三角形。 模块一.角平分线的对称性： 基本图形 例1.如图，是的角平分线，，，垂足分别是。连接，交于点。说出与之间有什么关系？证明你的结论。 【分析】：两条线段之间的关系有长度和位置两种关系，因此我们可以从这两方面去猜测判断。角是以其平分线为对称轴的轴对称图形，此题可以利用这一点进行判断。 【解答】：，且 证明：平分 ，，垂足分别是 ∴ 在和中： ∴ ∴ 在和中： ∴ ∴， ∴，且。 ?点评：通过此题我们知道，证明两条线段相等，除了利用全等三角形的性质外，还可以利用角平分线的性质。这样我们又多了一种证明线段相等的办法。在利用角平分线的性质时，“角平分线”和“两个垂直”这两个条件缺一不可。 如图，，于，于，和交于点。 求证：平分。 【分析】：要证平分，已知条件中已经有两个垂直，即已经有点到角的两边的距离了，只要证明这两个距离相等即可。而要证明两条线段相等，可利用全等三角形的性质来证明。 【证明】：于，于 ∴ 在和中 ∴ ∴ 又于，于 ∴平分。 ?点评：判定角的平分线时若题目中只给出一个条件或，，那么得出平分这一结论是错误的。 例3.如图，在中，，平分，于，在上，。求证：。 【分析】：由已知条件很容易得到；要证明，只要证明其所在三角形全等即可，再由此去找全等条件。 【证明】： 平分，， ∴ 在与中 ∴ ∴。 ?点评：掌握角平分线的性质和判定固然重要，但学会分析题目所给条件更是解决问题的关键。 1.如图，，于，于，下列结论中错误的是(??) 　 2.如图，中，，，且，， 　　求的度数。 　　 3.已知：，，求证：平分。 【提示】过点作、，利用角平分线性质可得。 4.如图，是的外角的平分线上一点，于，于，且交的延长线于。求证：。 【证明】 CD是的平分线，于，于 ∴， 在和中 ∴ ∴