向量空间3.ppt

* * * * * * * * * -*- (2) 解集的秩是多少? (3) 解集的最大无关组(又称为基础解系) 如何求? 齐次方程组 (假设有无穷多解) (1) 解集的特点? 称： 二、齐次线性方程组解的结构 -*- 性质1：若 是(4-3)的解， 解空间: 的所有解向量的集合S，对加法和数乘 都封闭，所以构成一个向量空间，称为这个齐次 线性方程组的解空间。 性质2： 注： 如果(4-3)只有零解，解空间是零空间。 如果(4-3)有非零解，解空间是非零空间。 性质 而在解空间中，基的概念我们在这里称为基础解系。 首先回答问题(1) -*- 设 是 的解，满足 线性无关； 的任一解都可以由 线性 是 的一个基础解系。 基础解系 表示,则称 ( 取任意实数) 从而 也是(4-3)的解。 -*- 通过下面的例子, 针对一般的方程组 例1 回答所提问题. -*- 第一步:对系数矩阵 A 初等行变换化行最简形 B 从行最简形能得到什么？ 第二步：写出同解的方程组(保留第一个未知数在方程的左边,其余的都移到右边. 右边的又叫自由变量) 自由变量的个数=? -*- 第三步:令自由变量为任意实数 写出通解，再改写成向量形式 是解吗? 线性无关吗? 任一解都 可由 表示吗? 是基础解系吗? 基础解系所含向量的个数 = ? 第四步:写出基础解系 -*- 设 是 矩阵，如果 则齐次线性方程组 的基础解系存在， 且每个基础解系中含有 个解向量。 定理 推论 设 是 矩阵，如果 则齐次线性方程组 的任意 个线性无关 的解向量均可构成基础解系。 -*- 解： 所以只有零解，基础解系不存在。 例2 : 求下列齐次方程组 -*- 例3 求四元方程组 的基础解系。 -*- 设 ,证明 证 记 则由 说明 都是 的解 因此 移项 重要结论 -*- 且线性无关，则_______是AX=O的基础解系。 (2),(3) 则_______可为AX=O的基础解系。 (4) 练习 (1) (2) -*- 以下总假设 有解, 而其对应的齐次方程组 的基础解系为 这里 三、非齐次线性方程组解的结构 -*- 性质 (1) 设 都是(1)的解,则 是(2)的解. (2) 设 是(1)的解, 是(2)的解,则 仍是(1)的解. 设 是(1)的一个解(固定), 则对(1)的任一解 x 是 (2)的解,从而存在 使得 又形如(3)的向量( 任取)都是(1)的解. 由此得: (3) 注：非齐次方程组的解集不是空间。 -*- 定理 设 是(1)的任一解, 则(1)的通解为 例7 解 -*- 在对应的齐次方程中 取 得齐次方程组的基础解系 于是所有通解 即得方程组的一个解 -*- 例9 假设 是 的三个解向量，r(A)=2, 已知 求 的通解。 -*- 例10 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3, 已知 是它的三个解向量, 且 求该方程组的通解. 解 取 , 则它就是解,从而也是基础解系. 基础解系所含向量个数 = 4 – 3 = 1 故非齐次方程组的通解为 -*- 1．设Ａ为n阶方阵，若齐次线性方程组AX=0有非零解，则 它的系数行列式（ ）． 2．设Ａ和(A|b)分别表示线性方程组ＡＸ＝b的系数矩阵和增 广矩阵，则方程组有解的充要条件是（ ）． 3．设Ｘ１是ＡＸ＝β的解，Ｘ２是其对应齐次方程ＡＸ＝０的 解，则Ｘ１－Ｘ２是（ ）的解． 一、填空题 -*- 1、n元齐次线性方程组ＡＸ＝０存在非零解的充要条件是 ①Ａ的列线性无关 ； ② Ａ的行线性无关； ③Ａ的列线性相关； ④Ａ的行线性相关． 2．设ζ１，ζ２是ＡＸ＝０的解，η１，η２是ＡＸ＝b的解，则 ①２ζ１＋η１是ＡＸ＝０的解 ②η１＋η２为ＡＸ＝b的解 ③ζ１＋ζ２是ＡＸ＝０的解 ④ζ１—ζ２是ＡＸ＝b的解 3． 的一组基础解系由（）个解向量组成。 ① ２ ② １