固体物理-能带理论2.ppt

* §6.5 晶体能带的对称性 一、 En(k)函数的对称性 引入描述点群对称操作的算符T(?)，其物理意义是对于任意函数f(r)，有 其中，?－1是?的逆操作，其定义是?－1 r点经?操作后变换到r点。 晶体中电子运动的哈密顿量（单电子）为： 将T(?)和H同时作用在任意函数f(r)上， 由于?2在正交变换下形式不变，而坐标旋转、反演、反映等都是正交变换，所以， 而电子的势能函数U(r)应具有与晶格相同的对称性，即 由于f(r)是任意函数，所以T(?)与H可对易 由此可以可得一个推论：若?n,k(r)是晶体波动方程的解，那么，T(?) ?n,k(r)也是方程的解，且?n,k(r)与T(?) ?n,k(r)有相同的能量本征值。 在晶体中电子运动的本征态波函数为Bloch函数 这里n为能带标记，k为简约波矢，对应的能量本征值为En(k)。将T(?)作用在?n,k(r)上得， 由于?是正交变换，因此，有 另外，由于 也是以Rl为周期的周期函数 ， 因此，可以改写为 这表明，用T(?)作用在Bloch函数的结果只是将简约波矢k变换到另一个简约波矢?k。根据上面的推论，它们应具有相同的能量本征值。所以，有 这表明，在k空间中En(k)具有对称性，将?取遍晶体点群的所有对称操作，上式都成立。于是，我们就证明了，在k空间中En(k)具有与晶体点群完全相同的对称性。 另外，由于在晶体中电子运动的哈密顿算符 是实算符，H*＝H，所以，如果?n,k(r)是方程的解，那么?*n,k(r)也是方程的解，且这两个解具有相同的能量本征值。即 在晶体中， 另一方面，用－k取代k，得 需要指出的是，这个结论不依赖于晶体的点群对称性，不管晶体中是否有对称中心，在k空间中En(k)总是有反演对称的。这实际上是时间反演对称性的结果。 从以上讨论可以看出，对于同一能带，有 来自于晶格的周期性 来自于晶体的点群对称性 来自于时间反演对称性 P P’’ P’ kx ky 以二维正方晶格为例，二维正方晶格的点群是C4V(4mm),所以，对于一般位置P，在简约区中共有8个点与P点对称 相关。在这些点，电子都有相同的能量En(k)。因此，我们只需研究清楚简约区中 1/8 空间中电子的能量状态，就可以知道整个k空间中的能量状态了。我们将这部分体积称为简约区的不可约体积。依此类推，对于立方晶系的Oh(m3m)点群，只需研究(1/48)?b即可。 ? ? X Z M ? kx ky -?/a ?/a -?/a 对于一般位置k，简约区中对称相关的波矢量数就等于点群的阶数。但若k在简约区中的某些特殊位置（对称点、对称轴或对称面）上，即在晶体点群中，存在某些对称操作，使得 ?k=k 或 ?k=k+Gl 这时，简约区中等价波矢量数就少于点群的阶数。在二维正方晶格的简约区中，k有以下特殊位置： ? ? M X R Z S ? T ? 简单立方晶格的简约区中k的特殊位置： 二、自由电子的能带 自由电子的能量为 这里，k’为广延波矢，不一定在简约区中，但我们一定可以找到唯一一个倒格矢Gn’,使得 k为简约波矢。 1. 一维情况 k为简约波矢 为简单，取k的单位为 En(0)(k)的单位为 第一能带：n=1，n’=0 相应波函数： 第二能带：n=2，n’=－1 相应波函数： 第三能带：n=3，n’=1 相应波函数： 2. 二维情况： 例：二维正方晶格的简约区中沿??X（即kx）轴作出En(0)(k)曲线。 为简单，取kx、ky的单位为 En(0)(k)的单位为 ? ? X Z M ? kx ky -?/a ?/a -?/a 在??X轴上，ky=0 (0,0) (1,0) (1,0) （ 1） 1， (1,1) (0,1) (0,1) (1,1) (1,1) 相应的波函数为 显然，当n1和n2的绝对值最小时，相应的能量最低。 （第一布里渊区） （单） 相应的波函数： 第一近邻倒格点： （单） 波函数： （双） 波函数： { （单） 波函数： 第二近邻倒格点： （双） 相应的波函数： { （双） 相应的波函数： { L ? X U,K ? ? L X ? U,K Energy (eV) L ? ? X U,K §6.6 能态密度和费米面 一、能态密度 1. 定义 能态密度： dS dk? kx ky E E+dE dZ为能量在E－E+dE两等能面间的能态数（考虑了电子自旋），即能态密 度为能带中单位能量间隔内的电子能态数。 dZ=2?(k)?(k空间中能量在E－E+dE两等能面间的体积) 2. 近自由电子的能态密度 对于自由电子： 在k空间中，能量为E的等能面是半径为 的球