图论-哈密尔顿图-课内专题报告.ppt

每对顶点之间都有一条边相连的有向图称为竞赛图。 这样的有向简单图的基图为n阶无向完全图的有向图称为n阶竞赛图。 * /dm_vincent/article/details/7714519 拓扑排序经典的例子——选课 偏序/全序关系： 偏序和全序实际上是离散数学中的概念。 这里不打算说太多形式化的定义，形式化的定义教科书上或者上面给的链接中就说的很详细。 ? 还是以上面选课的例子来描述这两个概念。假设我们在学习完了算法这门课后，可以选修机器学习或者计算机图形学。这个或者表示，学习机器学习和计算机图形学这两门课之间没有特定的先后顺序。因此，在我们所有可以选择的课程中，任意两门课程之间的关系要么是确定的(即拥有先后关系)，要么是不确定的(即没有先后关系)，绝对不存在互相矛盾的关系(即环路)。以上就是偏序的意义，抽象而言，有向图中两个顶点之间不存在环路，至于连通与否，是无所谓的。所以，有向无环图必然是满足偏序关系的。 ? 理解了偏序的概念，那么全序就好办了。所谓全序，就是在偏序的基础之上，有向无环图中的任意一对顶点还需要有明确的关系(反映在图中，就是单向连通的关系，注意不能双向连通，那就成环了)。可见，全序就是偏序的一种特殊情况。回到我们的选课例子中，如果机器学习需要在学习了计算机图形学之后才能学习(可能学的是图形学领域相关的机器学习算法……)，那么它们之间也就存在了确定的先后顺序，原本的偏序关系就变成了全序关系。 ? 实际上，很多地方都存在偏序和全序的概念。 比如对若干互不相等的整数进行排序，最后总是能够得到唯一的排序结果(从小到大，下同)。这个结论应该不会有人表示疑问吧:)但是如果我们以偏序/全序的角度来考虑一下这个再自然不过的问题，可能就会有别的体会了。 ? 那么如何用偏序/全序来解释排序结果的唯一性呢？ 我们知道不同整数之间的大小关系是确定的，即1总是小于4的，不会有人说1大于或者等于4吧。这就是说，这个序列是满足全序关系的。而对于拥有全序关系的结构(如拥有不同整数的数组)，在其线性化(排序)之后的结果必然是唯一的。对于排序的算法，我们评价指标之一是看该排序算法是否稳定，即值相同的元素的排序结果是否和出现的顺序一致。比如，我们说快速排序是不稳定的，这是因为最后的快排结果中相同元素的出现顺序和排序前不一致了。如果用偏序的概念可以这样解释这一现象：相同值的元素之间的关系是无法确定的。因此它们在最终的结果中的出现顺序可以是任意的。而对于诸如插入排序这种稳定性排序，它们对于值相同的元素，还有一个潜在的比较方式，即比较它们的出现顺序，出现靠前的元素大于出现后出现的元素。因此通过这一潜在的比较，将偏序关系转换为了全序关系，从而保证了结果的唯一性。 ? 拓展到拓扑排序中，结果具有唯一性的条件也是其所有顶点之间都具有全序关系。如果没有这一层全序关系，那么拓扑排序的结果也就不是唯一的了。在后面会谈到，如果拓扑排序的结果唯一，那么该拓扑排序的结果同时也代表了一条哈密顿路径 * 该算法的实现十分直观，关键在于需要维护一个入度为0的顶点的集合： 每次从该集合中取出(没有特殊的取出规则，随机取出也行，使用队列/栈也行，下同)一个顶点，将该顶点放入保存结果的List中。 紧接着循环遍历由该顶点引出的所有边，从图中移除这条边，同时获取该边的另外一个顶点，如果该顶点的入度在减去本条边之后为0，那么也将这个顶点放到入度为0的集合中。然后继续从集合中取出一个顶点………… ? 当集合为空之后，检查图中是否还存在任何边，如果存在的话，说明图中至少存在一条环路。不存在的话则返回结果List，此List中的顺序就是对图进行拓扑排序的结果。 复杂度分析： 初始化入度为0的集合需要遍历整张图，检查每个节点和每条边，因此复杂度为O(E+V); 然后对该集合进行操作，又需要遍历整张图中的，每条边，复杂度也为O(E+V); 因此Kahn算法的复杂度即为O(E+V)。 基于DFS的拓扑排序： 除了使用上面直观的Kahn算法之外，还能够借助深度优先遍历来实现拓扑排序。这个时候需要使用到栈结构来记录拓扑排序的结果。 * 需要注意的是，非DAG也是能够含有哈密顿路径的，为了利用拓扑排序来实现判断，所以这里讨论的主要是判断DAG中是否含有哈密顿路径的算法，因此下文中的图指代的都是DAG。 很显然，这样的算法十分低效。对于大规模的顶点集，是无法应用这种解决方案的。 没有抓住现有问题的一些特征而导致的。 没有利用到的就是全序关系中传递性这一规则。如何利用它呢，最简单的想法往往就是最实用的，我们还是选择排序，排序后对每对相邻元素进行检测不就间接利用了传递性这一规则嘛？所以，我们先使用拓扑排序对图中的顶点进行排序。排序后，对每对相邻顶点进行检测，看看是否存在先后关系，如果每对相邻顶