圆的有关性质(教师).doc

圆的有关性质 例题1．（ 2014?安徽省,第19题10分）如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直，垂足为E，以OC为直径的圆与弦AB的一个交点为F，D是CF延长线与⊙O的交点．若OE=4，OF=6，求⊙O的半径和CD的长． 考点： 垂径定理；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质． 专题： 计算题． 分析： 由OE⊥AB得到∠OEF=90°，再根据圆周角定理由OC为小圆的直径得到∠OFC=90°，则可证明Rt△OEF∽Rt△OFC，然后利用相似比可计算出⊙O的半径OC=9；接着在Rt△OCF中，根据勾股定理可计算出C=3，由于OF⊥CD，根据垂径定理得CF=DF，所以CD=2CF=6． 解答： 解：∵OE⊥AB， ∴∠OEF=90°， ∵OC为小圆的直径， ∴∠OFC=90°， 而∠EOF=∠FOC， ∴Rt△OEF∽Rt△OFC， ∴OE：OF=OF：OC，即4：6=6：OC， ∴⊙O的半径OC=9； 在Rt△OCF中，OF=6，OC=9， ∴CF==3， ∵OF⊥CD， ∴CF=DF， ∴CD=2CF=6． 点评： 本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质． ．(2014年天津市，第21题10分)已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D． （Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长； （Ⅱ）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长． 考点： 圆周角定理；等边三角形的判定与性质；勾股定理． 分析： （Ⅰ）利用圆周角定理可以判定△CAB和△DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知△DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到BD=CD=5； （Ⅱ）如图②，连接OB，OD．由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知△OBD是等边三角形，则BD=OB=OD=5． 解答： 解：（Ⅰ）如图①，∵BC是⊙O的直径， ∴∠CAB=∠BDC=90°． ∵在直角△CAB中，BC=10，AB=6， ∴由勾股定理得到：AC===8． ∵AD平分∠CAB， ∴=， ∴CD=BD． 在直角△BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2， ∴易求BD=CD=5； （Ⅱ）如图②，连接OB，OD． ∵AD平分∠CAB，且∠CAB=60°， ∴∠DAB=∠CAB=30°， ∴∠DOB=2∠DAB=60°． 又∵OB=OD， ∴△OBD是等边三角形， ∴BD=OB=OD． ∵⊙O的直径为10，则OB=5， ∴BD=5． 点评： 本题综合考查了圆周角定理，勾股定理以及等边三角形的判定与性质．此题利用了圆的定义、有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形证得△OBD是等边三角形． 　．（2014?新疆，第21题10分）如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且==，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若CD=2，求⊙O的半径． 考点： 切线的判定． 专题： 证明题． 分析： （1）连结OC，由=，根据圆周角定理得∠FAC=∠BAC，而∠OAC=∠OCA，则∠FAC=∠OCA，可判断OC∥AF，由于CD⊥AF，所以OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线； （2）连结BC，由AB为直径得∠ACB=90°，由==得∠BOC=60°，则∠BAC=30°，所以∠DAC=30°，在Rt△ADC中，利用含30度的直角三角形三边的关系得AC=2CD=4，在Rt△ACB中，利用含30度的直角三角形三边的关系得BC=AC=4，AB=2BC=4，所以⊙O的半径为4． 解答： （1）证明：连结OC，如图， ∵=， ∴∠FAC=∠BAC， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∴∠FAC=∠OCA， ∴OC∥AF， ∵CD⊥AF， ∴OC⊥CD， ∴CD是⊙O的切线；（2）解：连结BC，如图， ∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， ∵==， ∴∠BOC=×180°=60°， ∴∠BAC=30°， ∴∠DAC=30°， 在Rt△ADC中，CD=2， ∴AC=2CD=4， 在Rt△ACB中，BC=AC=×4=4， ∴AB=2BC=4， ∴⊙O的半径为4． 点评： 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系． 　 .（2014年广东汕尾，第20题11分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于E． （1）求证：点E是边BC的中点； （2）求证：BC2=BD?