复变函数4.2幂级数.ppt

4.2 幂级数 4.2.1 幂级数的敛散性 4.2.1 幂级数的敛散性 4.2.4、典型例题 五、小结与思考 阿贝尔资料 非凡的数学家——阿贝尔 阿贝尔（Abel,Niels Henrik,1802-1829）挪威数学 家。1802年8月5日生于芬岛，1829年4月6日卒于 弗鲁兰。是克里斯蒂安尼亚（现在的奥斯陆）教 区穷牧师的六个孩子之一。尽管家里很贫困，父 亲还是在1815年把阿贝尔送进克里斯蒂安尼亚的 一所中学里读书，15岁时优秀的数学教师洪堡 （Bernt Michael Holmbo 1795-1850）发现了阿 贝尔的数学天才，对他给予指导。使阿贝尔对数 学产生了浓厚的兴趣。16岁时阿贝尔写了一篇解 方程的论文。丹麦数学家戴根（Carl Ferdinand Degen 1766-1825）看过这篇论文后，为阿贝尔的 数学才华而惊叹，当时数学界正兴起对椭圆积分的 研究，于是他给阿贝尔回信写到：“...与其着手解决 被认为非常难解的方程问题，不如把精力和时间投 入到对解析学和力学的研究上。例如，椭圆积分就 是很好的题目，相信你会取得成功...”。于是阿贝尔 开始转向对椭圆函数的研究。 阿贝尔18岁时，父亲去世了，这使生活变得更 加贫困。1821年在洪堡老师的帮助下，阿贝尔进入克 里斯蒂安尼亚大学。1823年，他发表了第一篇论文， 是关于用积分方程求解古老的“等时线”问题的。 这是对这类方程的第一个解法，开了研究积分方程 的先河。1824年，他解决了用根式求解五次方程的不 可能性问题。这一论文也寄给了格丁根的高斯，但 是高斯连信都未开封。 得及过目。不过，我认为这是一件非常有价值的工 作，我很想能尽快听到科学院权威人士的意见，现 在正昂首以待...。” ??? 可是，负责给阿贝尔审稿的柯西把论文放进抽屉 里，一放了之。（这篇论文原稿于1952年在佛罗伦 萨重新发现）阿贝尔等到年末，了无音信。一气之 下离开了巴黎，在柏林作短暂停留之后于1827年5 月20日回到了挪威。由于过渡疲劳和营养不良，在 旅途上感染了肺结核。这在当时是不治之症。当阿 贝尔去弗鲁兰与女朋友肯普（Christine Kemp）欢 度圣诞节时，身体非常虚弱，但他一边与病魔作斗 争一边继续进行数学研究。 　　他原希望回国后能被聘为大学教授，但是他的 这一希望又一次落空。他靠给私人补课谋生，一度 当过代课教师。阿贝尔和雅可比（Carl Gustav Jacobi 1804-1851）是公认的椭圆函数论的创始 人。这是作为椭圆积分的反函数而为他所发现 的。这一理论很快就成为十九世纪分析中的重要 领域之一，他对数论、数学物理以及代数几何有 许多应用。阿贝尔发现了椭圆函数的加法定理、 双周期性。此外，在交换群、二项级数的严格理 论、级数求和等方面都有巨大的贡献。这些工作 使他成为分析学严格化的推动者。在这个时候， 阿贝尔的名声随着克莱尔杂志的广泛发行而传遍 了欧洲的所有数学中心。雅可比看见这篇椭圆函 数的论文，而且知道了巴黎科学院所作的蠢事之 后，非常吃惊，在1829年3月14日写信给巴黎科学 院表示抗议：“...这在我们生活的这个世纪中，恐 怕是数学中最重要的发现，虽然向‘老爷们’的研 究院提交此论文达两年之久，但一直没有得到诸 位先生的注意，这是为什么呢？...”。而由于阿贝 尔身处孤陋寡闻之地，对于这一切一无所知。阿 贝尔的病情不断发展，甚至连医生也束手无策了 　　1829年4月5日夜间，阿贝尔的病情急剧恶 化，于4月6日上午11点去世。作为命运捉弄人的 是，在他死后的第二天，克莱尔写信给阿贝尔“... 我国教育部决定招聘您为柏林大学教授...，一个 月之内就能发出招聘书...。”这封信还提到，希望 阿贝尔能尽量用最好的药物治疗，不要考虑费用 支出。他的亲人们听到这一消息，禁不住泪流满 面。 思考题 幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定? 由于在收敛圆周上 确定, 可以依复数项级 数敛散性讨论. 思考题答案 放映结束，按Esc退出. Born: 5 Aug 1802 in Frindoe (near Stavanger), NorwayDied: 6 April 1829 in Froland, Norway Niels Abel 1825年，他去柏林，结识了业余数学爱好者克莱尔 （Auguste Leopold Crelle 1780-1856）。他与斯 坦纳建议克莱尔创办了著名数学刊物《纯粹与应用 数学杂志》。这个杂志头三卷发表了阿贝尔22篇包 括方程论、无穷级数、椭圆函数论等方面的论文。 　　1826年，阿贝尔来到巴黎，他会见了柯西、勒 让德、狄利赫莱和其他人，但这些会面也是虚应故 事，人们并没有真正认识到他的天才。阿贝尔又太 腼腆