高负荷下分支型轮询排队网络极限性态.pdf

刘再明等：高负荷下分支型轮询排队网络的极限性态 2 模型描述 考虑一个由Ⅳ个队列Q1… ．，QⅣ和一个服务器组成的排队网络，服务器依次服务每个队列．外 部顾客输入 Qi是参数为 i的Poisson过程． 中顾客的服务时间 服从一般分布．记 Ⅳ A=∑ t，b EBt，6=EB i=1 服务器从队列 Qt转移到队列Qt+1的转移时间 服从一般分布．记 n = ERi， r )= 皿R ， 假设顾客的到达过程 、每个顾客的服务时间以及服务器的转移时间相互独立．队列 中的顾客服务 Ⅳ∑ p 0 完后 以概率Pi,j转移到队列 的尾部，或 以概率P，o离开系统，其中 0 Ⅳ∑ p 且顾客转移时间忽略不计．假设每个队列的服务策略具有分支性，这里，分支性定义如下： lI ： 定义 1 当服务器从其他队列转移到 Qt时，发现 Qt中有 ‰个顾客，服务器在 Qt中服务直 到离开时，如果这 ki个顾客均将Ⅳ独∑立嘲同分布地被 Ⅳ类顾客有效取代，这 Ⅳ类顾客数联合分布的概率 母函数为 (z)=hi(z1，… ，zⅣ)，则称Qt中的服务策略满足分支性． 由文献 [4]知，队列 Qi的 有“效到达率” 是下述方程组的唯一非负解： = At+∑TjPj i：1…．，Ⅳ J=1 定义队列Q 的负荷率为P{=7ibi，系统总的负荷率为 N P=∑Pi i=1 假设系统稳定，即P1(参见文献 [11】)．记 表示队列Qt中的顾客在系统逗留期间接受的总服务 时间，并引入随机变量 Xi(i=1，… ，Ⅳ)： 、 ， JJ，若Qi中的顾客服务完后转移到Qj，J=1…．，Ⅳ lo，若Q 中的顾客服务完后离开系统， 则有 { =J)=Pi，J．由全概率公式有 N E啻t=E[雪tJXi=0】{=0)+∑E豆[iIXi=j]]P{Xi=J) J=1 N N =Pi，oEB+∑Pi，jEB[~+岛]=EBi+二Pi，J皿岛， (2．1) j=l j=l 516 中国科学：数学 第 45卷 第 5期 ]E =E[IXi=0]{t