《算法设计与分析》第10章.pptVIP

算法设计与分析 第3部分 求解困难问题 第10章 NP完全问题 10.1 ? 基本概念 10.1.1 不确定算法和不确定机 10.1.2 可满足性问题 10.1.3? P类和NP类问题 10.1.4 NP难度和NP完全问题 10.2 Cook定理和证明 10.2.1 Cook定理 10.3 一些典型的NP完全问题 10.3.1?最大集团 10.3.2 顶点覆盖 10.3.3? 3元CNF可满足性 10.3.4 图的着色数 定理10－4 最大集团判定问题∝顶点覆盖判定问题。 证明：分两步证明这一结论。 第一步：以最大集团判定问题的任一实例(G，k)，G=(V，E)，k为正整数，来构造一个顶点覆盖判定问题的实例(G’，n-k)，G’=(V， )，n=|V|， ={(u,v)|u?V,v?V且（u,v）?E}。 第二步：分两方面证明“图G有一个规模至少为k的集团，当且仅当图G’有一个规模至多为n?k的结点覆盖。” 一方面，先证明：若图G有一个规模至少为k的集团S，则图G’有一个规模至多为n?k的结点覆盖S’，S’＝V?S。 反证法：若G’不能被S’中的顶点所覆盖，则必定存在边(u,v)? ，顶点u和v均不在S’ 中，而在S中。这与S是图G的一个集团相矛盾。所以，S’必定是图G’的顶点覆盖。并且若|S|?k，则|S’|? n?k。 另一方面，需证明：若G’有一个规模至多为n?k的结点覆盖S’，则G有一个规模至少为k的集团S，S=V?S’。 反证法：若S不是完全图，则S中至少有一对顶点u?S，v?S之间缺少边，该边（u,v）应属于 ，即S’未覆盖此边。这与S’是G’的顶点覆盖相矛盾。因此，S必为完全图。若|S’|?n?k，则|S|?k。 例10－7 （3SAT）3元CNF可满足性问题是指一个CNF公式F中，每个子句包含恰好3个文字时的可满足性问题。 可满足性的若干结果 ?是可满足的，当且仅当公式 f = (?∨ y1∨y2)∧( ?∨ ∨y2) ∧(?∨y1∨ )∧(?∨ ∨ ) 是可满足的。其中，?是公式，y1和y2是变量。由于y1? ，y2? ， y1∨y2， ∨y2, y1∨ 和 ∨ 不同时为真。所以，?是可满足的，当且仅当公式f是可满足的。 ?1∨?2是可满足的，当且仅当公式 f=(?1∨?2∨y)∧(?1∨?2∨ ) 是可满足的。 由于y? ，两者之一为假。所以，?1∨?2是可满足的，当且仅当公式f是可满足的。 f1∨f2是可满足的，当且仅当公式 f=(f1∨y)∧(f2∨ ) 是可满足的，f1和f2是公式，y是变量，并且不出现在f1和f2中。 若f1∨f2是可满足的，则必有f1或f2为真。若f1为真，可令y为假，则f 可满足；否则，若f2为真，可令y为真，则f可满足。 若f是可满足的，因为y? ，若y为真，则必有f2为真，若y为假，则必有f1为真。即无论y为何值，只有f1∨f2为真时，f 才为真。 DeSign and Analysis of Algorithms In C++ “十一五”国家级规划教材 陈慧南 编著 电子工业出版社 10.1 基本概念 10.2 Cook定理和证明 10.3 一些典型的NP完全问题 将能在多项式时间求解的问题看作易处理问题(tractable problem)，而将至今尚未找到多项式时间算法求解的问题视为难处理问题(intractable problem)。 为便于研究，先假定一种运行不确定算法的抽象计算模型，该抽象机除了包含第2.1.3节的抽象机模型的基本运算外，最根本的区别在于它新增了下面一个新函数和两个新语句： （1）Choice(S)：任意选择集合S的一个元素； ? （2）Failure：发出不成功完成信号后算法终止； （3）Success：发出成功完成信号后算法终止。 例10－1 在n个元素的数组a中查找给定元素x，如果x在其中，则确定使a[j]==x的下标j，否则输出-1。 【程序10－1】不确定有哪些信誉好的足球投注网站算法 void Search(int a[],T x) { int j=Choice(0,n-1); if(a[j]==x) { coutj;Success(); } cout-1;Failure(); } 包含C